[論文レビュー] p-th Kazdan-Warner equation on graph

Huabin Ge|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、任意の $ p > 1 $ に対して、有限グラフ上での $ p $-番目の Kazdan-Warner 方程式 $\Delta_p u = c - h e^u$ の可解性条件を確立する。これは、$ p=2 $ の場合に Grigor'yan, Lin, および Yang が得た結果を一般化するものである。変分法および上解下解法を用いて、$ c $ と $ h $ に関する明示的な条件（$ h $ の符号および平均に関する制約を含む）の下で、定数を除いて解の存在と一意性を証明する。

ABSTRACT

Let $G=(V,E)$ be a connected finite graph and $C(V)$ be the set of functions defined on $V$. Let $Δ_p$ be the discrete $p$-Laplacian on $G$ with $p>1$ and $L=Δ_p-k$, where $k\in C(V)$ is positive everywhere. Consider the operator $L:C(V) ightarrow C(V)$. We prove that $-L$ is one to one, onto and preserves order. So it implies that there exists a unique solution to the equation $Lu=f$ for any given $f\in C(V)$. We also prove that the equation $Δ_pu=\overline{f}-f$ has a solution which is unique up to a constant, where $\overline{f}$ is the average of $f$. With the help of these results, we finally give various conditions such that the $p$-th Kazdan-Warner equation $Δ_pu=c-he^u$ has a solution on $V$ for given $h\in C(V)$ and $c\in \mathds{R}$. Thus we generalize Grigor'yan, Lin and Yang's work \cite{GLY} for $p=2$ to any $p>1$.

研究の動機と目的

• 有限グラフ上での $ p=2 $ 時の Kazdan-Warner 方程式に関する Grigor'yan, Lin, および Yang の結果を、任意の $ p > 1 $ に一般化すること。
• $ p \neq 2 $ の場合における離散的 $ p $-ラプラシアン $\Delta_p$ の非線形性に起因する課題に対処すること。
• $ c $ と $ h $ に関する明示的な条件の下で、有限グラフ上での $\Delta_p u = c - h e^u$ の解の存在を特徴づけること。
• $ k > 0 $ に対して、演算子 $ L = \Delta_p - k $ が全単射かつ順序を保つことを証明し、解の構成を可能にする。
• 非線形的 $ p \neq 2 $ の設定においても、上解下解法および変分原理を用いて解の存在を確立すること。

提案手法

• $ L = \Delta_p - k $ が $ k > 0 $ のとき全単射かつ順序を保つことを証明し、$ Lu = f $ の解の一意性と可逆性を保証する。
• $\overline{f} - f$ に対する $\Delta_p u = \overline{f} - f$ の解が存在し、定数を除いて一意であることを、Liouville 型定理および $ p $-ラプラシアンの性質を用いて確立する。
• 上解下解法を用いて、収束する解に至る入れ子の列を構成することで、$\Delta_p u = c - h e^u$ の解を構成する。
• 平均値の定理および比較推定を用いて、反復的解法の構成における $ L $ の順序を保つ性質を検証する。
• 離散的設定における Trudinger-Moser および Sobolev 嵌め込み不等式を用いて、成長を制御し収束を保証する。
• $ c < 0 $ のとき解が存在しない臨界閾値 $ c_-(h) $ を定義し、$ \overline{h} < 0 $ のとき $ c \in (c_-(h), 0) $ に対して解の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ c \in \mathbb{R} $ および $ h \in C(V) $ がどのような値・関数の組に対して、$ p > 1 $ の有限グラフ上での方程式 $\Delta_p u = c - h e^u$ が解を持つのか。
• RQ2 $ h $ の符号および平均が、$ p $-番目の Kazdan-Warner 方程式の可解性にどのように影響するか。
• RQ3 $ \overline{h} < 0 $ のとき、$ c < 0 $ に対しても解の存在を保証できるか。また、臨界閾値 $ c_-(h) $ は何か。
• RQ4 $ p \neq 2 $ のときの $ \Delta_p $ の非線形性および斉次性の欠如が、$ p=2 $ の場合と比較して解の構造にどのように影響するか。
• RQ5 反復的構成によって解を包摂する上解および下解の存在を保証する条件は何か。

主な発見

• $ k > 0 $ のとき、演算子 $ L = \Delta_p - k $ は全単射かつ順序を保つ。これにより、任意の $ f \in C(V) $ に対して $ Lu = f $ の解が一意に存在する。
• $\overline{f} - f$ に対する $\Delta_p u = \overline{f} - f$ の解は存在し、定数を除いて一意である。これは解の構成に重要な道具である。
• $ c = 0 $ のとき、方程式 $\Delta_p u = -h e^u$ が解を持つための必要十分条件は、$ h $ が符号を変えることおよび $\overline{h} < 0$ であることである。
• $ c > 0 $ のとき、解が存在するための必要十分条件は、$ h $ がどこかで正であること。平均値とは無関係である。
• $ c < 0 $ のとき、解が存在するための必要十分条件は、$\overline{h} < 0$ かつ $ c > c_-(h) $ であること。ここで $ c_-(h) \in [-\infty, 0)$ は、$ h $ のみに依存する臨界閾値である。
• $ h \leq 0 $ かつ恒等的にゼロでないとき、すべての $ c \in (c_-(h), 0) $ に対して解が存在し、$ c < c_-(h) $ のときは解が存在しない。