[論文レビュー] Packing Coloring of Undirected and Oriented Generalized Theta Graphs

Daouya Laïche, Isma Bouchemakh+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、無向および有向一般化θグラフのパッキング彩色数を調査し、無向グラフのパッキング彩色数が3とmax{5, n₃ + 2}の間にあることを証明している。ここでn₃は長さ3のパスの数を表し、両端の境界はタイトである。有向グラフの場合、パッキング彩色数は2から5の間であり、両境界もタイトであり、特に上界5に達する有向一般化θグラフを構成した。

ABSTRACT

The packing chromatic number $χ$ $ρ$ (G) of an undirected (resp. oriented) graph G is the smallest integer k such that its set of vertices V (G) can be partitioned into k disjoint subsets V 1,..., V k, in such a way that every two distinct vertices in V i are at distance (resp. directed distance) greater than i in G for every i, 1 $\le$ i $\le$ k. The generalized theta graph $Θ$ {\ell} 1,...,{\ell}p consists in two end-vertices joined by p $\ge$ 2 internally vertex-disjoint paths with respective lengths 1 $\le$ {\ell} 1 $\le$ . . . $\le$ {\ell} p. We prove that the packing chromatic number of any undirected generalized theta graph lies between 3 and max{5, n 3 + 2}, where n 3 = |{i / 1 $\le$ i $\le$ p, {\ell} i = 3}|, and that both these bounds are tight. We then characterize undirected generalized theta graphs with packing chromatic number k for every k $\ge$ 3. We also prove that the packing chromatic number of any oriented generalized theta graph lies between 2 and 5 and that both these bounds are tight.

研究の動機と目的

• 無向一般化θグラフのパッキング彩色数の正確な境界を特定すること。
• すべてのk ≥ 3に対して、無向一般化θグラフをそのパッキング彩色数によって特徴付けること。
• 有向一般化θグラフのパッキング彩色数に対するタイトな境界を確立すること。
• 上界がタイトであることを示すために、パッキング彩色数が正確に5に等しい有向一般化θグラフを構成すること。

提案手法

• パッキング彩色数を、頂点がk個の集合に分割可能で、集合i内の任意の2頂点が距離 > i にあるような最小のkとして定義する。
• 2つの端点の間にp ≥ 2本の内部素性のパスを持つ無向一般化θグラフを分析し、長さℓ₁ ≤ … ≤ ℓₚとする。
• 構造的分析とケース別推論を用いて、特に長さ3のパスの数n₃を数えることにより、パス長の分布に基づくパッキング彩色数の境界を導出する。
• 6本の有向パス（長さ4、2、1を含む）を持つ特定の有向一般化θグラフを構成し、5色が必要であることを示す。
• 構成されたグラフにおける可能な色割り当てについての包括的ケース解析を行い、4色割り当てが存在しないことを証明する。
• 有向距離の性質およびソース/シンク構成の性質を活用して、有向グラフの境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無向一般化θグラフのパッキング彩色数の正確な範囲は何か？
• RQ2 k ≥ 3 のどの値について、無向一般化θグラフのパッキング彩色数が正確にkに等しくなるか？
• RQ3 有向一般化θグラフのパッキング彩色数のタイトな上界は何か？
• RQ4 有向ケースの上界5はタイトか？もしそうなら、それを達成する具体的な例を構成できるか？

主な発見

• 任意の無向一般化θグラフのパッキング彩色数は3とmax{5, n₃ + 2}の間であり、n₃は長さ3のパスの数を表し、両境界はタイトである。
• 任意のk ≥ 3に対して、パッキング彩色数が正確にkに等しい無向一般化θグラフが存在するため、完全な特徴付けが可能である。
• 任意の有向一般化θグラフのパッキング彩色数は少なくとも2で、最大5であり、両境界はタイトである。
• 長さ1、2、4のパスを含む6本の有向パスを持つ明示的な有向一般化θグラフを構成し、そのパッキング彩色数が正確に5に等しいことを示した。
• この構成された有向グラフに対して4色割り当てが存在しないことを証明した。これにより、5色が必要であることが確認された。
• 本稿では、パッキング彩色数が5であるが、長さ4未満のパスを含まない有向一般化θグラフの存在を予想しており、これにより5の境界が削減可能でない可能性を示唆している。