[論文レビュー] Pairs of modules and determinantal isolated singularities

Terence Gaffney, Antoni Rangachev|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 14被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、モジュールの対の多重度と極曲線を用いて、行列式的孤立特異点族のホイットニー同一型を扱うフレームワークを構築する。許容的変形によって定義される「ランドスケープ」の概念を導入することで、特異点の無限小的不変量とその一般変形の位相的性質を結びつけ、異なるランドスケープが異なる同一型不変量を生じることを示し、明示的な計算により、2つの異なる特異点族に対してホイットニー同一型が成立することを確認する。

ABSTRACT

We continue the development of the study of the equisingularity of isolated singularities, in the determinantal case. This version of the paper includes a substantial amount of new material (76% larger). The new material introduces the idea of the landscape of singularity, which includes the allowable deformations of the singularity and associated structure useful for equisingularity questions. Fixing a presentation matrix M of a determinantal singularity means viewing the singularity as a section via M of the set of matrices of a given or smaller rank. Varying M gives the allowable deformations of X. This version also includes a description of the conormal varieties of the rank singularities, which is applied to our machinery. There is also an example of a determinantal singularity which is a member of two Whitney equisingular families, whose generic elements have topologically distinct smoothings. This example shows that it is impossible to find an invariant which depends only on an analytic space $X$ with an isolated singularity, whose value is independent of parameter for all Whitney equisingular deformations of $X$, and which is determined by the geometry of a smoothing of $X$.

研究の動機と目的

• 特異点のハイパーサーフェスおよび完全交差の一般化である行列式的特異点へ、同一型理論を拡張すること。
• 家族の各成員にのみ依存し、一般変形の位相的性質を反映する不変量を定義する課題に対処すること。
• 特異点がどの一般化に変形するかを決定する「ランドスケープ」—バーバル変形空間内の変形成分の選択—の概念を導入すること。
• モジュールの対による無限小幾何と一般化の位相的性質との間の関係を確立し、同一型条件を満たすようにすること。
• 同じ特異点に対して異なるランドスケープが、ホイットニー同一型である族であっても、異なる同一型不変量を生じることを示すこと。

提案手法

• 特異点 $X$ のヤコビアンモジュール $JM(X)$ と、$X$ の表現行列から誘導される1次変形モジュール $N(X)$ を定義する。
• モジュールの対 $(JM(X), N(X))$ の多重度を、同一型理論における主要な不変量とし、一般化の位相的性質と関連付ける。
• 多重度-極曲線定理を適用し、オイラー乗数と極曲線の多重度の和を用いて $\mathrm{mult}_{S_i}\Gamma_2(\mathfrak{m}_{S_i}M)$ を計算する。
• 極曲線の多重度 $\mathrm{mult}_{S_1}\Gamma_2(M)$ を、フィッティングイデアルと商環を含む代数的公式を用いて計算する：$\dim_{\mathbb{C}} \mathbb{C}[x_1,\dots,x_5]/\langle\mathrm{Fitt}_3(F/M_r), t-\epsilon, I\rangle - \dim_{\mathbb{C}} \mathbb{C}[x_1,\dots,x_5]/I'$。
• オイラー乗数の公式 (5) と定理 9.8(i) を用いて、極曲線からの寄与と特異点の多重度を計算する。
• ホイットニー同一型を検証するため、$\mathrm{mult}_{Y_i}\Gamma_2(\mathfrak{m}_{Y_i}M) = 0$（$i=1,2$）を示し、条件 (W) が成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列式的特異点族における同一型は、家族の成員にのみ依存する不変量を用いてどのように特徴付けられるか？
• RQ2 変形のランドスケープの選択が、特異点の同一型不変量を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ3 モジュールの対の多重度と極曲線は、ホイットニー同一型を検出するためにどのように利用できるか？
• RQ4 特異点の表現行列のみを用いて、同一型不変量の明示的計算を実行できるか？
• RQ5 同じ特異点に対して異なるランドスケープが、ホイットニー同一型である族であっても、異なる同一型不変量を生じる理由は何か？

主な発見

• 2つの異なる行列式的特異点族に対して、$\mathrm{mult}_{S_1}\Gamma_2(\mathfrak{m}_{S_1}M) = 78$ および $\mathrm{mult}_{S_2}\Gamma_2(\mathfrak{m}_{S_2}M) = 76$ が得られた。
• 極曲線の多重度 $\mathrm{mult}_{S_1}\Gamma_2(M) = 8$ は、フィッティングイデアルと最大イデアルを含む商環の次元の差を用いて計算された。
• 極曲線からの寄与と特異点の多重度は $e(\mathfrak{m}_0M(0), M(0)) = 70$ であり、$4 \cdot 4 + 6 \cdot 9$ として計算された。
• 行列式 (19) で定義される族は、$\mathrm{mult}_{Y_1}\Gamma_2(\mathfrak{m}_{Y_1}M) = 0$ であることから、ホイットニー同一型であることが示された。
• 行列式 (20) で定義される族も、$\mathrm{mult}_{Y_2}\Gamma_2(\mathfrak{m}_{Y_2}M) = 0$ であることから、同じ基準により同一型であることが確認された。
• 同じ特異点 $X$ は2つの異なるランドスケープを有し、それぞれが異なる同一型不変量を生じることを示しており、不変量が変形成分の選択に依存することを示している。