[論文レビュー] Pairwise approximation for SIR type network epidemics with non-Markovian recovery

Gergely Röst, Zsolt Vizi+1 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2016

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非マルコフ型回復時間を持つSIR型ネットワーク疫病に対して、感染年齢とリンク状態を追跡する積分微分方程式を用いた一般化されたペアワイズ近似モデルを構築する。最終的感染規模およびペアワイズ基本再生産数の関数形を厳密に証明し、指数分布、固定、ガンマ分布、一様分布などの既知の結果を拡張する。

ABSTRACT

We present the generalised mean-field and pairwise models for non-Markovian epidemics on networks with arbitrary recovery time distributions. First we consider a hyperbolic system, where the population of infective nodes and links are structured by age since infection. By solving the partial differential equations, the model is transformed into a system of integro-differential equations, which is analysed both from a mathematical and numerical point of view. We analytically study the asymptotic behaviour of the generalised model and provide a rigorous mathematical proof of the conjecture on the functional form of the final epidemic size and pairwise reproduction number. As an illustration of the applicability of the general model we recover known results for the exponentially distributed and fixed recovery time cases and obtain new pairwise models with gamma and uniformly distributed infectious period. The general framework that we proposed shows a more complete picture of the impact of non-Markovian recovery on network epidemics.

研究の動機と目的

• ネットワーク上でのSIR疫病に適用されるペアワイズおよび平均場モデルを、記憶のない回復という標準的な仮定を超えて、非マルコフ型回復時間を取り入れる拡張を行う。
• ノードおよびリンクレベルで感染年齢を構造化した双曲型方程式系を構築し、任意の回復時間分布の正確なモデル化を可能にする。
• 非マルコフ型設定下で、最終的感染規模およびペアワイズ基本再生産数の関数形を解析的に導出し、厳密に証明する。
• 指数分布および固定回復時間に対する既知の結果を回復し、ガンマ分布および一様分布に対する新しいペアワイズモデルを導出することで、モデルの適用可能性を示す。
• 非マルコフ型回復がネットワーク集団の疫病動態に与える全般的な影響を明らかにする包括的なフレームワークを提供する。

提案手法

• 感染年齢に応じた感染ノードおよびS-Iリンクの密度を追跡する双曲型偏微分方程式系を定式化する。
• 回復時間分布の生存関数およびハザード関数を組み込むために、感染年齢について統合することで、PDE系を積分微分方程式系に変換する。
• 定数の変動公式および数学的帰納法を用いて、一般の回復分布に対して感染者数の明示的解を導出する。
• 台形則近似を用いたコロケーションに基づく数値スキームを用いて、得られた非線形積分微分方程式を解く。
• 任意の回復時間生成が可能なイベントベースの確率的シミュレーションアルゴリズムを用いてモデルを検証する。
• 生存関数および感染伝播率を含む暗黙的関係式を用いて最終的感染規模を導出し、解析的および数値的解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非マルコフ型回復を想定するネットワークSIRモデルにおいて、最終的感染規模は回復時間の分布にどのように依存するか？
• RQ2 任意の回復時間分布が存在する状況下で、ペアワイズ基本再生産数の関数形はどのようなものか？
• RQ3 標準的なペアワイズモデルは、非マルコフ型回復を扱えるように一般化可能か？ また、解析的可解性を保ったままか？
• RQ4 指数分布、固定、ガンマ分布、一様分布といった異なる回復時間分布は、疫病の閾値および最終的感染規模にどのように影響を与えるか？
• RQ5 感染年齢構造化による非マルコフ型回復のモデル化から生じる積分微分方程式系の数学的構造はどのようなものか？

主な発見

• 本稿は、非マルコフ型SIR疫病における最終的感染規模の予想された関数形について、厳密な数学的証明を提供する。
• ペアワイズ基本再生産数が回復時間分布の生存関数に依存することを示し、マルコフ型の場合を一般化する。
• 指数分布および固定回復時間に対する既知の結果を回復し、既存の文献と整合性を確認する。
• ガンマ分布および一様分布の感染期間に対して、新しいペアワイズモデルを導出し、フレームワークの適用範囲を拡張する。
• 台形則近似を用いたコロケーション法に基づく数値シミュレーションが、非線形積分微分方程式系の解法を成功裏に実行し、モデルの計算的妥当性を検証する。
• 解析により解の正値性が確認され、回復時間分布に依存する明確に定義された疫病閾値の存在が確立される。