[論文レビュー] Paquets d'Arthur discrets pour un groupe classique p-adique

Colette Mœglin|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、Langlands-Luminy パラメータ $\psi: W_F \times SL(2,\mathbb{C}) \to {}^L G$ を用いて、古典的 $p$-進群の離散アーサー包を構成する。ここで $\psi$ は離散的（つまり、${}^L G^0$ における中心化子が有限）である。この構成では、$Cent_{{}^L G}(\psi)$ の各乗法的特徴 $\epsilon$ に対して、Grothendieck 群内に表現 $\pi(\psi, \epsilon)$ を割り当てるが、一般には非可約ではない。主な結果は、関連する $\psi \circ \Delta$-包が安定である限り、重み付き和 $\sum_\epsilon \epsilon(z)\pi(\psi, \epsilon)$ がエンデスコピック転送に関して安定であるということである。これは、以前のエンデスコピック転送およびラングランズパラメータに関する結果を一般化する。

ABSTRACT

In this paper we construct some packets of representations which have to correspond to relatively general Arthurs packets; this is for any classical group $G$ over a p-adic field $F$. An Arthur's packet correspond to a map $ψ$ from $W_{F} imes SL(2,{\mathbb C}) imes SL(2,{\mathbb C})$ into the $L$-group of $G$. The packets we consider here have the property that the centralizer of $ψ$ in the dual group is a finite groupe. Our construction is a combinatorial one which reduce the study of the representations in such a packet to tempered representation of eventualy smaller groups; in fact we give a precise description of the representations associated to $ψ$ and a character of the centralizer of $ψ$ in the L-group in the Grothendieck group. Stability properties follow easily from analogous properties for the tempered packet which enter the situation.

研究の動機と目的

• 離散的 Langlands-Luminy パラメータ $\psi: W_F \times SL(2,\mathbb{C}) \to {}^L G$ を用いて、古典的 $p$-進群の離散アーサー包を構成すること。
• 結果として得られる表現が非可約でない場合でも、$Cent_{{}^L G}(\psi)$ の特徴による表現のパrametrization を定義すること。
• 重み付き和 $\sum_\epsilon \epsilon(z)\pi(\psi, \epsilon)$ が安定分布であることを確立し、エンデスコピック転送と整合することを保証すること。
• アーベル＝シュナイダー＝シュトラウス双対性および伊藤＝松本対合を、非臨界的・非基本的の場合に一般化すること。
• パラメータ $\psi$ をその非可約成分 $\rho \otimes Rep_a \otimes Rep_b$ に分解することにより、基本的でない場合のアーサー包の組合せ的枠組みを提供すること。

提案手法

• パラメータ $\psi$ を非可約成分 $\rho \otimes Rep_a \otimes Rep_b$ に分解し、ここで $\rho$ は $W_F$ の自己双対表現である。$A = (a+b)/2 - 1$、$B = |a-b|$、$\zeta = \text{sign}(a-b)$ を定義する。
• 分解から得られる四つ組 $(\rho, A, B, \zeta)$ の集合を $Jord(\psi)$ と定義する。
• $Cent_{{}^L G}(\psi)$ の特徴 $\epsilon$ を関数 $Jord(\psi) \to \{\pm 1\}$ と同一視する。
• アーベル＝シュナイダー＝シュトラウス双対性を一般化した公式を用いて、有限長の表現の Grothendieck 群内に $\pi(\psi, \epsilon)$ を構成する。
• ジャケット関手とエンデスコピック転送を用いて、$\pi(\psi, \epsilon)$ を $\psi \circ \Delta$ に関連する表現と関係づける。ここで $\Delta$ は $SL(2,\mathbb{C})$ の対角埋め込みである。
• ジャケット関手による保存性を示し、$\psi \circ \Delta$-包の安定性を引き継ぐことで、和 $\sum_\epsilon \epsilon(z)\pi(\psi, \epsilon)$ の安定性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Langlands パラメータ $\psi$ が基本的でない場合、古典的 $p$-進群の離散アーサー包をどのように構成できるか？
• RQ2 アーサー包内の非臨界的・非可約表現に対して、アーベル＝シュナイダー＝シュトラウス双対性の正しい一般化は何か？
• RQ3 和 $\sum_\epsilon \epsilon(z)\pi(\psi, \epsilon)$ が安定分布である条件は何か？ これによりエンデスコピック転送と整合する。
• RQ4 パラメータ $\psi$ が第二の $SL(2,\mathbb{C})$ 要素で自明である場合、表現 $\pi(\psi, \epsilon)$ はどのように振る舞い、いつ消失するか？
• RQ5 結果として得られる $\pi(\psi, \epsilon)$ が非可約でない場合でも、中心化子 $Cent_{{}^L G}(\psi)$ を用いて表現をパラメータ化できるか？

主な発見

• 各 $Cent_{{}^L G}(\psi)$ の特徴 $\epsilon$ に対して、Grothendieck 群内に表現 $\pi(\psi, \epsilon)$ を割り当てるが、一般には非可約である。
• 関連する $\psi \circ \Delta$-包が安定である限り、和 $\sum_\epsilon \epsilon(z)\pi(\psi, \epsilon)$ は安定分布である。これはジャケット関手による保存性により示される。
• 基本的ケース（$Cent_{{}^L G}(\psi) \to Cent_{{}^L G}(\psi \circ \Delta)$ が同型である場合）では、写像 $\epsilon \mapsto \pi(\psi, \epsilon)$ は単射であり、表現は可約でない。
• $G = SO(2n+1)$ で $\psi$ がフロベニウスを通して因数分解する場合、[14] および [9] の結果により和の安定性が保証され、既知の構成と整合することが確認される。
• 明示的な例では、$\psi$ が $SO(9,F)$ を表し、$Jord(\psi) = \{(tr_{W_F}, 3/2, 3/2, +), (tr_{W_F}, 1/2, 1/2, +), (tr_{W_F}, 1/2, 1/2, -)\}$ で $\epsilon = (-, +, -)$ のとき、$\pi(\psi, \epsilon) = 0$ である。これはエンデスコピック転送と整合する。
• この手法は、伊藤＝松本対合を一般化し、非臨界的・非基本的パラメータへとアーベル＝シュナイダー＝シュトラウス双対性を拡張する。これにより、アーサー包の組合せ的枠組みが提供される。