[論文レビュー] Para-Hermitian and Para-Quaternionic manifolds

Stefan Ivanov, Simeon Zamkovoy|ArXiv.org|Oct 26, 2003

Algebraic and Geometric Analysis被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、ほぼ双対ケーラー多様体上に標準的双対ヘルミート接続を導入し、4次元一般相対性理論におけるアポストロヴ＝ゴドゥシュォンによるゴールドバーグ＝サックス定理の双対ヘルミート版を確立する。この論文は、近似的双対ケーラー多様体のニエンヒュイステンソルが標準接続に関して平行であることを証明し、コデイラ＝トゥルステンおよびイノエ多様体上にハイパーパラ複素構造を構成し、特に局所的に双対ヘルミート的でない新しい自己双対な中性計量を提示する。

ABSTRACT

A set of canonical parahermitian connections on an almost paraHermitian manifold is defined. ParaHermitian version of the Apostolov-Gauduchon generalization of the Goldberg-Sachs theorem in General Relativity is given. It is proved that the Nijenhuis tensor of a Nearly paraKähler manifolds is parallel with respect to the canonical connection. Salamon's twistor construction on quaternionic manifold is adapted to the paraquaternionic case. A hyper-paracomplex structure is constructed on Kodaira-Thurston (properly elliptic) surfaces as well as on the Inoe surfaces modeled on $Sol^4_1$. A locally conformally flat hyper-paraKähler (hypersymplectic) structure with parallel Lee form on Kodaira-Thurston surfaces is obtained. Anti-self-dual non-Weyl flat neutral metric on Inoe surfaces modeled on $Sol^4_1$ is presented. An example of anti-self-dual neutral metric which is not locally conformally hyper-paraKähler is constructed.

研究の動機と目的

• 4次元一般相対性理論におけるアポストロヴ＝ゴドゥシュォンによるゴールドバーグ＝サックス定理の双対ヘルミート的類似を確立すること。
• ほぼ双対ヘルミート多様体上に標準的双対ヘルミート接続を定義し、その曲率およびリッチ形式を研究すること。
• 標準的（双）ケーラー構造を持たないコデイラ＝トゥルステンおよびイノエ多様体上にハイパーパラ複素構造およびハイパーパラケーラー構造を構成すること。
• コンパクト4次元多様体上に自己双対な中性計量の新しい例を提示し、そのうちの1つが局所的に双対ヘルミート的でないことを示すこと。
• サラモンのツイスター構成法を双対クaternion的設定に適応し、反射空間およびツイスター空間上に定義されたほぼ複素／ほぼ双対複素構造の可積分性を証明すること。

提案手法

• ニエンヒュイステンソルと torsion-free 条件を用いて、ほぼ双対ヘルミート多様体上に標準的双対ヘルミート接続の族を定義する。
• ビスマート接続とリー形式の性質を用い、ほぼハイパーパラ複素構造の可積分性と中性計量の共形類の自己双対性との関係を特定する。
• 可解リー群上の不変構造を用いて、$M = S^1 \times \widetilde{SL(2,\mathbb{R})}/\Gamma$ 上のコデイラ＝トゥルステン多様体および $Sol^4_1$ 上にモデル化されたイノエ多様体上にハイパーパラ複素構造を構成する。
• 中性計量を持つ4次元多様体に対して反射空間構成法を適用し、リー形式と曲率条件を制御するほぼ双対ヘルミート構造を生成する。
• 双対クォータニオン的多様体に対してサラモンのツイスター理論を適応し、torsion-free 接続からの水平分布を用いて $Z^+$ および $Z^-$ 上に可積分なほぼ複素／ほぼ双対複素構造を定義する。
• 曲率恒等式を用いて得られる構造の可積分性を検証し、双対クォータニオン的構造に対して $S(R) = 0$ が成り立つことを示し、クォータニオン的ケースと類似する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元におけるアポストロヴ＝ゴドゥシュォンによるゴールドバーグ＝サックス定理の双対ヘルミート的類似は何か？
• RQ2 近似的双対ケーラー多様体のニエンヒュイステンソルが標準接続に関して平行となる条件は何か？
• RQ3 標準的（双）ケーラー構造を持たないコデイラ＝トゥルステンおよびイノエ多様体上にハイパーパラ複素構造を構成できるか？
• RQ4 4次元多様体上にほぼハイパーパラ複素構造があるとき、中性計量の共形類が自己双対となる条件は何か？
• RQ5 局所的に双対ヘルミート的でない自己双対な中性計量の例は存在するか？

主な発見

• 近似的双対ケーラー多様体のニエンヒュイステンソルは、標準的双対ヘルミート接続に関して平行である。
• 4次元の双対ヘルミート的エインシュタイン多様体では、基本2次形式が正のウェイリテンソルの固有形式である。
• コデイラ＝トゥルステン多様体は、$\nabla^g$-平行なリー形式を備えたハイパーパラ複素構造を持ち、平坦なハイパーパラケーラー（ハイパーシミプレクティック）構造と局所的に共形同値である。
• $Sol^4_1$ 上にモデル化されたイノエ多様体は、自己双対でWeyl平坦でない中性計量を備えたハイパーパラ複素構造を持つ。
• 中性計量を持つ4次元多様体の反射空間は、スカラー曲率とパrameter $t$ に応じて、近似的双対ケーラーおよびほぼ双対ヘルミート的構造を持つ。$ts$ に関する明示的な条件が得られる。
• 局所的に双対ヘルミート的でない自己双対な中性計量の例が構成され、そのクラスを超えるような計量が存在することが示された。