[論文レビュー] Para-quaternionic reduction

Srdjan Vukmirović|ArXiv.org|Apr 27, 2003

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、パラクaternion的ケーラーおよびパラハイパケーラー多様体の理論を展開し、それぞれのホロノミー群 $\mathrm{Sp}(n,\mathbb{R})\oplus\mathrm{Sp}(1,\mathbb{R})$ および $\mathrm{Sp}(n,\mathbb{R})$ を用いた特徴付けを行う。また、シンプレクティックおよびハイパーケーラー還元に類似した還元手続きを確立し、$\mathbb{R}^+$ による自由かつ等長的作用でパラクaternion的ケーラー多様体を商することで、新たなパラクaternion的ケーラー多様体が得られることを証明した。4次元における明示的例も提示した。

ABSTRACT

The pseudo-Riemannian manifold $M=(M^{4n},g), n \geq 2$ is para-quaternionic K\" ahler if $hol(M) \subset sp(n, \RR) \oplus sp(1, \RR).$ If $hol(M) \subset sp(n, \RR),$ than the manifold $M$ is called para-hyperK\" ahler. The other possible definitions of these manifolds use certain parallel para-quaternionic structures in $\End (TM),$ similarly to the quaternionic case. In order to relate these different definitions we study para-quaternionic algebras in details. We describe the reduction method for the para-quaternionic K\" ahler and para-hyperK\" ahler manifolds and give some examples. The decomposition of a curvature tensor of the para-quaternionic type is also described.

研究の動機と目的

• パラクaternion的ケーラーおよびパラハイパーケーラー多様体の理論を、ホロノミー群の特徴付けを用いて体系的に発展させること。
• シンプレクティックおよびハイパーケーラー還元に類似したパラクaternion的構造における還元手続きを確立すること。
• クaternion的ケースからの拡張として、パラクaternion的タイプのテンソルの曲率分解を提供すること。
• 特に4次元において、還元を用いてパラクaternion的ケーラー多様体の明示的例を構成すること。
• パラクaternionの幾何学的・代数的性質、特に接バンドル上での構造定義における役割を調査すること。

提案手法

• パラクaternion的ケーラー多様体をホロノミー $\mathrm{Hol}(M) \subset \mathrm{Sp}(n,\mathbb{R})\oplus\mathrm{Sp}(1,\mathbb{R})$ で特徴付け、パラハイパーケーラー多様体を $\mathrm{Hol}(M) \subset \mathrm{Sp}(n,\mathbb{R})$ で特徴付ける。
• 生成子 $i^2 = -1$, $j^2 = k^2 = 1$, $ij = -ji = -k$ を満たすパラクaternion $\tilde{\mathbb{H}} = C(1,1)$ の代数的構造を用い、接バンドル上の自己準同型バンドルを定義する。
• リー群 $G \cong \mathbb{R}^+$ が等長的かつパラクaternion的構造を保存する状況において、モーメント写像形式を適用する。
• $\mathcal{K} = \{p \in M \mid f(p) = 0\}$ を満たす $f$（$\mathfrak{g}^*$ 値のモーメント写像）を用いて、還元多様体 $\tilde{M} = \mathcal{K}/G$ を定義する。
• 誘導されたほぼヘルミート的パラクaternion的構造 $\tilde{\Omega}$ が平行であることを証明し、したがって $\tilde{M}$ がパラクaternion的ケーラーであることを示す。
• 曲率分解定理（定理 4.1 および 4.2）を用いて、パラクaternion的タイプの曲率テンソルを解析し、例におけるオッズァーマ性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラクaternion的ケーラーおよびパラハイパーケーラー多様体は、ホロノミー群によってどのように特徴付けられるか？
• RQ2 シンプレクティックおよびハイパーケーラー還元に類似した、パラクaternion的ケーラー多様体に対する適切な還元手続きは何か？
• RQ3 パラクaternion的多様体の曲率テンソルはどのように分解され、クaternion的ケースと比べてどう異なるか？
• RQ4 還元を用いてパラクaternion的ケーラー多様体の明示的例を構成可能か？ その幾何的性質は何か？
• RQ5 還元多様体が局所的にオッズァーマ的である条件は何か？ また、いつそれがグローバルにオッズァーマ的でなくなるか？

主な発見

• パラクaternion的ケーラー多様体はホロノミー $\mathrm{Hol}(M) \subset \mathrm{Sp}(n,\mathbb{R})\oplus\mathrm{Sp}(1,\mathbb{R})$ で特徴付けられ、パラハイパーケーラー多様体は $\mathrm{Hol}(M) \subset \mathrm{Sp}(n,\mathbb{R})$ で特徴付けられ、両者とも次元 $4n$ および符号 $(2n,2n)$ を持つ。
• パラクaternion的ケーラー多様体の曲率テンソルは $\mathrm{Sp}(n,\mathbb{R})\oplus\mathrm{Sp}(1,\mathbb{R})$ の下で不変な成分に分解され、その明示的分解は定理 4.2 に与えられている。
• 自由かつ等長的 $G \cong \mathbb{R}^+$-作用によるパラクaternion的ケーラー多様体 $M$ の還元により、新たなパラクaternion的ケーラー多様体 $\tilde{M}$ が得られることを定理 5.2 で証明した。
• $\tilde{M}_{p,q} = \mathcal{K}_{p,q}/G$ は、$\tilde{\mathbb{H}}P^2$ から $G$-作用（重み $p,q$）を用いて得られる4次元の、アインシュタイン的かつ自己双対な多様体で、符号 $(2,2)$ を持つ。
• $\tilde{M}_{p,q}$ は点-wise オッズァーマ的であるが、グローバルにオッズァーマ的ではないし、局所的にも一様でない。これは、ジャコビ作用素の固有値解析（式 26）により示された。
• 還元多様体におけるジャコビ作用素の固有値公式（26）において、$|h(V_X)|^2 / |V|^2$ の比は単位方向 $X$ に依存せず、点-wise オッズァーマ的性質を保証する。