[論文レビュー] Parabolic and elliptic systems in divergence form with variably partially BMO coefficients

Hongjie Dong, Doyoon Kim|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2009

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、変動する部分的にBMO係数をもつ第二順位の発散型放物型・楕円型系の $W^1_p$-可解性を確立する。ここで、主要係数は各小さな放物型シリンダーごとに1つの空間方向に関して可測であり、他の方向では小さな平均振動を示す。著者らは $L_2$-振動推定と一般化されたFefferman-Stein定理を用いて、ソボレフ空間における存在性・一意性・正則性を証明し、$H^k$ から $L_p$（$p > d$）への右辺の正則性要件を緩和することで、先行研究における線形弾性系の結果を改善する。主な貢献は、空間的に変化する係数構造をもつ系への可解性理論の拡張であり、複合材料や積層板のモデル化に適している。

ABSTRACT

We establish the solvability of second order divergence type parabolic systems in Sobolev spaces. The leading coefficients are assumed to be only measurable in one spatial direction on each small parabolic cylinder with the spatial direction allowed to depend on the cylinder. In the other orthogonal directions and the time variable the coefficients have locally small mean oscillations. We also obtain the corresponding $W^1_p$-solvability of second order elliptic systems in divergence form. Our results are new even for scalar equations and the proofs simplify the methods used previously in [12]

研究の動機と目的

• 各小さな放物型シリンダーごとに1つの空間方向に関してのみ可測である主要係数をもつ第二順位の発散型放物型・楕円型系の、ソボレフ空間における一意的可解性を確立すること。
• 各シリンダーごとに可測性の方向が変化しうる部分的にBMO係数に関する先行結果を一般化し、より複雑な複合材料をモデル化すること。
• 線形弾性積層板に対する既存の正則性推定を改善し、力項の要求正則性を $H^k$（$k \geq d/2$）から $L_p$（$p > d$）に緩和すること。
• 従来の手法（特に[14]におけるもの）とは異なる、新たな簡素化された証明フレームワークを提供し、系の場合にまで拡張すること。

提案手法

• 解の微分に関する $L_2$-振動推定を用いて、小さなシリンダー内での解の挙動を制御する。
• Krylov [27] による一般化されたFefferman-Stein定理を応用し、$L_2$-振動制御を微分の $L_p$-可積分性に移行する。
• 各シリンダー上で微分同相写像を用いて、可測方向を固定座標軸に一致させるための局所化（partition of unity）を実行する。
• 局所化された解に対するSobolev埋め込みとブートストラップ論法を組み合わせ、$W^1_p$-空間における事前推定を導出する。
• 系を微分して $D_{x'}\mathbf{u}$ および $U$（フラックスに関連するベクトル場）の推定を得る。ここで $L_p$-推定をこれらの微分に適用する。
• 近似および局所化技術を用いて、グローバル問題を球またはシリンダー上の局所推定に還元し、被覆論法によりそれらを貼り合わせる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各小さなシリンダーごとに1つの空間方向に関してのみ可測である主要係数をもつ発散型放物型・楕円型系の $W^1_p$-可解性は、方向がシリンダーごとに変化する場合にも確立可能か？
• RQ2 方向が変動する部分的にBMO係数をもつ系の可解性理論は、[14]におけるスカラー系の結果を、結合系の場合にまで拡張するか？
• RQ3 線形弾性系における力項 $\mathbf{f}$ の正則性要件を $H^k$（$k \geq d/2$）から $L_p$（$p > d$）に緩和することは可能か？
• RQ4 [14]および[27]で用いられたスカラー方程式の証明技法を、空間的に変化する係数構造をもつ系の場合にまで簡素化・一般化することは可能か？
• RQ5 空間的に変化する係数系の文脈において、$D_{x'}\mathbf{u}$ および $U$ の $L_p$-推定は、$\mathbf{u}$ の $L_2$-ノルムと $\mathbf{f}$ の $L_p$-ノルムにどのように依存するか？

主な発見

• 本稿は、変動する部分的にBMO係数をもつ放物型・楕円型系に対して、$W^1_p$-空間における弱解の存在性と一意性を証明する。
• 任意の $\Omega' \subset\subset \Omega$ に対して、解が推定式 $\|D_{x'}\mathbf{u}\|_{W^1_p(\Omega')} + \|U\|_{W^1_p(\Omega')} \leq N(\|\mathbf{u}\|_{L_2(\Omega)} + \|\mathbf{f}\|_{L_p(\Omega)})$ を満たす。ここで $N$ は $\delta$、$m$、$p$、および領域に依存する。
• 解 $\mathbf{u}$ は $W^1_\infty(\Omega')$ に属し、$\|\mathbf{u}\|_{W^1_\infty(\Omega')} \leq N(\|\mathbf{u}\|_{L_2(\Omega)} + \none{\mathbf{f}}_{L_p(\Omega)})$ を満たす。これは $L_p$-データのもとでのより高い正則性を示している。
• 著者らは、Chipot, Kinderlehrer, および Vergara-Caffarelli の結果を改善し、$\mathbf{f}$ の正則性仮定を $H^k$（$k \geq d/2$）から $L_p$（$p > d$）に緩和した。これは可積分性の観点から最適である。
• 本手法はCampanato空間を用いず、[14]の手法と比較して、特に系の場合においてより簡素で直接的な証明を提供する。
• 本結果はスカラー方程式に対しても新規であり、空間的に変化する可測方向をもつ系を含む係数クラスへの拡張を実現しており、繊維強化材料や積層板のモデル化に適している。