[論文レビュー] Parabolic Bifurcations in Complex Dimension 2

Eric Bedford, John Smillie+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、1次元の放物型分岐理論を複素次元2に拡張し、半放物型微分同相写像の摂動における力学的集合（$K^+$, $J^+$, $J^*$, $K$）の不連続性を分析する。ファトウ座標と新規の正規化を用いて、摂動写像の高次反復がモデル写像 $T_\alpha$ に収束することを証明し、前向き吸引集合における連続性の失敗を説明するとともに、ラバールの定理の2次元版を確立する。

ABSTRACT

Parabolic bifurcations in one complex dimension demonstrate a wide variety of interesting dynamical phenomena. In this paper we consider parabolic bifurcations of families of diffeomorphisms in two complex dimensions. Specifically we consider a two variable family of diffeomorphisms $F_ε: M o M$ given locally by $$F_ε(x,y) = (x + x^2 + ε^2+ ..., b_εy+...)$$ where $|b_ε|<1$, and the `$...$' terms involve $x$, $y$ and $ε$.

研究の動機と目的

• 1次元の放物型分岐理論を、固有値が1と $|b_0|<1$ である固定点をもつ半放物型微分同相写像に注目して、2つの複素次元に拡張すること。
• 複素平面 $\mathbb{C}^2$ 内の多項式微分同相写像の、半放物型固定点近傍における力学的挙動を分析し、特に前向きおよび後向き吸引集合の変化を調べること。
• ファトウ座標を用いて定義されるモデル写像 $T_\alpha$ に、摂動写像の高次反復が収束することを示し、ラバールの定理の2次元版を確立すること。
• $X = J^*, J^+, K^+, K$ に対して関数 $\epsilon \mapsto X(F_\epsilon)$ が $\epsilon = 0$ で不連続であることを証明するが、$X = J^-, K^-$ については連続のままであること。

提案手法

• 半放物型固定点近傍における微分同相写像 $F_\epsilon$ の局所的形を簡略化する正規化 (3.1) を導入する。
• 2次元の吸引領域 $\mathcal{B}$ 上に定義されるファトウ座標 $\varphi^\iota$ と、1次元の反発的葉 $\Sigma$ 上に定義される $\varphi^o$ を定義し、関数方程式 $\varphi(f(p)) = \varphi(p) + 1$ を満たすようにする。
• モデル写像 $T_\alpha = (\varphi^o)^{-1} \circ \tau_\alpha \circ \varphi^\iota$ を構成する。ここで $\tau_\alpha(\zeta) = \zeta + \alpha$ であり、ファトウ座標空間における時間-$\alpha$ 平行移動として作用する。
• $\alpha$-列 $\epsilon_j \to 0$, $n_j \to \infty$ で $n_j - \pi/\epsilon_j \to \alpha$ となるように選ぶことにより、高次反復 $F_{\epsilon_j}^{n_j}$ の極限を分析する。
• コンパクト集合上で $F_{\epsilon_j}^{n_j} \to T_\alpha$ の一様収束を証明し、反復写像がモデル写像に収束することを確立する。
• $K^+$ および $J^+$ の下半連続性を応用し、$\limsup_{j\to\infty} K^+(F_{\epsilon_j}) \subset K^+(F, T_\alpha)$ を示し、極限集合とモデル力学の関連を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素平面 $\mathbb{C}^2$ 内の半放物型微分同相写像の摂動において、空のジュリア集合 $K^+$, $J^+$, $J^*$, $K$ はどのように振る舞うか？
• RQ2 摂動写像の高次反復が、ファトウ座標を用いて定義されるモデル写像 $T_\alpha$ にどの程度収束するか？
• RQ3 なぜ関数 $\epsilon \mapsto K^+(F_\epsilon)$ は $\epsilon = 0$ で不連続であるのに対し、$\epsilon \mapsto K^-(F_\epsilon)$ は連続のままであるのか？
• RQ4 ファトウ座標は、高次元における吸引的および反発的力学の遷移を記述する上で果たす役割は何か？
• RQ5 盆地 $\mathcal{B}$ および強い安定多様体 $W^{ss}(O)$ の幾何構造は、分岐構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• $\epsilon \mapsto K^+(F_\epsilon)$ は $\epsilon = 0$ で不連続であり、任意の $\alpha$-列に対して $\limsup_{j\to\infty} K^+(F_{\epsilon_j}) \subset K^+(F, T_\alpha)$ が成り立つ。
• 高次反復 $F_{\epsilon_j}^{n_j}$ が $\alpha$-列に沿ってモデル写像 $T_\alpha$ に収束する。これは、2次元複素空間におけるラバールの定理の一般化である。
• $K^+(F, T_\alpha) \cap \mathcal{B}$ は、$\{\varphi^\iota = \text{定数}\}$ のファイバーの和集合であり、$\mathcal{B}$ の真部分集合である。これは、盆地内のすべての点が前向き極限集合に残るわけではないことを示している。
• $K(F, T_\alpha) = K^-(F) \cap K^+(F, T_\alpha)$ は空でなく、不変である。また $J(F, T_\alpha) = \partial K^+(F, T_\alpha) \cap K^-(F)$ であり、$\mathcal{J}^*_{\alpha} \subset J(F, T_\alpha)$ が成り立つ。
• $\epsilon \mapsto K^-(F_\epsilon)$ は $\epsilon = 0$ で連続であるが、$\epsilon \mapsto K^+(F_\epsilon)$ は不連続である。これは前向き方向に非自明な力学的挙動が存在するためである。
• 動的平面の上部領域における垂直方向の平行移動は $c_0^+ \approx -5.83$ であり、画像内の水平ストリップの数は $8 \approx 44 / 5.83$ に一致しており、移動の周期と整合的である。