[論文レビュー] Parabolic, hyperbolic and elliptic Poincaré series

Özlem Imamoğlu, Cormac O’Sullivan|ArXiv.org|Jun 26, 2008

Analytic Number Theory Research参考文献 15被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、第一種のフクシアン群に対する第二階の正則尖点形式のためのペトソンの放物型、双曲型、楕円型のポアンカレ級数理論を拡張する。同定のホモモルフィズムを用いたねじれポアンカレ級数を導入し、放物型元上で消える $ olinebreak[4]\operatorname{Hom}_0(\Gamma,\mathbb{C})$ の元を用いて、$S^2_k$ の元への絶対的かつ一様収束を証明する。主な貢献は、このような級数が空間 $S^2_k$ を張ることを示したことであり、古典的な第一階の場合を一般化する。

ABSTRACT

Following Petersson, we study the parabolic, hyperbolic and elliptic expansions of holomorphic cusp forms and the associated Poincaré series. We show how these ideas extend to the space of second-order cusp forms.

研究の動機と目的

• 第一種のフクシアン群に対する第二階の正則尖点形式のためのペトソンの放物型、双曲型、楕円型ポアンカレ級数を拡張すること。
• 放物型元上で消えるホモモルフィズムを用いた、第二階設定における相対的ポアンカレ級数を統一的に構成する枠組みを構築すること。
• これらのねじれポアンカレ級数がコンパクト集合上で絶対的かつ一様収束し、$S^2_k$ を張ることを証明すること。
• 適切なホモモルフィズムのクラスと関連する級数を特定することで、$S_k$ に対する古典的な生成結果を $S^2_k$ に拡張すること。

提案手法

• すべての $\gamma \in \Gamma$ に対して $f|_k(\gamma - 1) \in S^{n-1}_k(\Gamma)$ を満たす再帰的条件を用いて、第二階の尖点形式 $S^n_k(\Gamma)$ を定義する。これには、尖点で急速に減衰し、放物型元で消える性質を含む。
• ホモモルフィズム $L \in \operatorname{Hom}_0(\Gamma, \mathbb{C})$ と $\Gamma_0$-不変で $L^1$-型ノルムが有限な関数 $\phi$ を用いて、ねじれポアンカレ級数 $P[\phi, L](z) = \sum_{\gamma \in \Gamma_0 \backslash \Gamma} L(\gamma)(\phi|_k \gamma)(z)$ を導入する。
• 積分 $\int_{\Gamma_0 \backslash \mathbb{H}} (1 + |\Lambda_L^+(z)| + |\Lambda_L^-(z)|) |\phi(z)| y^{k/2} d\mu z < \infty$ との比較により収束性を確立し、コンパクト集合上で絶対的かつ一様収束することを保証する。
• $L(\gamma) = \Lambda_L^+(\gamma z) - \Lambda_L^+(z) + \overline{\Lambda_L^-(\gamma z) - \Lambda_L^-(z)}$ を満たす $\Lambda_L^\pm(z)$ を定義する。これは第一階の場合の対数微分の一般化である。
• $\mathcal{A} \cup \mathcal{B}$ が商空間を生成することを用いて、ポアンカレ級数写像 $\mathcal{P}_2$ の像が $S^2_k / S^1_k$ を張ることを証明する。
• 高階の形式へと枠組みを一般化するため、$\operatorname{Hom}^{[n]}_0(\Gamma, \mathbb{C})$ を定義する。これは、すべての $\delta_i \in \Gamma$ に対して $L_n|((\delta_1 - 1)\cdots(\delta_n - 1)) = 0$ を満たす関数 $L_n: \Gamma \to \mathbb{C}$ の空間である。$S^n_k$ が $\Phi_{\text{Par}}(z, m, \mathfrak{a}; L)$ で $L \in \operatorname{Hom}^{[n]}_0(\Gamma, \mathbb{C})$ と生成されることを予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一種のフクシアン群に対する第二階の尖点形式のための古典的ポアンカレ級数理論は、拡張可能か？
• RQ2 どのクラスのホモモルフィズム $L: \Gamma \to \mathbb{C}$ が、ねじれポアンカレ級数が $S^2_k$ の元に収束することを保証するか？
• RQ3 $L \in \operatorname{Hom}_0(\Gamma, \mathbb{C})$ のねじれポアンカレ級数は、空間 $S^2_k$ を張るか？
• RQ4 高階ホモモルフィズム $\operatorname{Hom}^{[n]}_0(\Gamma, \mathbb{C})$ を用いた自然な一般化により、高階形式への生成性が可能か？

主な発見

• 積分条件 $\int_{\Gamma_0 \backslash \mathbb{H}} (1 + |\Lambda_L^+(z)| + |\Lambda_L^-(z)|) |\phi(z)| y^{k/2} d\mu z < \infty$ を満たす場合、ねじれポアンカレ級数 $P[\phi, L](z) = \sum_{\gamma \in \Gamma_0 \backslash \Gamma} L(\gamma)(\phi|_k \gamma)(z)$ は、$\mathbb{H}$ のコンパクト部分集合上で絶対的かつ一様収束し、$S^2_k$ の元に収束する。
• $S^2_k / S^1_k$ は、放物型、双曲型、楕円型ポアンカレ級数が写像 $\mathcal{P}_2$ を通じて写す像によって生成され、$\mathcal{A} \cup \mathcal{B}$ の像が商空間を生成する。
• $\mathcal{T}^2_{\text{Hyp}} = \{ \Phi_{\text{Hyp}}(z, 0, \eta(\gamma); L) \mid \gamma \in \text{Hyp}(\Gamma), L \in \operatorname{Hom}_0(\Gamma, \mathbb{C}), L(\gamma) = 0 \}$ は、$S^2_k / S^1_k$ を張ると予想されるが、未だ未解決である。
• 放物型の場合、$S^2_k$ は $\{ \Phi_{\text{Par}}(z, m, \mathfrak{a}; L) \mid m \in \mathbb{N}, L \in \operatorname{Hom}^{[2]}_0(\Gamma, \mathbb{C}) \}$ で生成される。双曲型および楕円型タイプに対しても同様の結果が予想される。
• 高階形式への一般化は予想される：$S^n_k = \left\langle \bigcup_{\text{type}} \{ \Phi_{\text{type}}(z, m, \mathfrak{a}; L) \mid m \in \mathbb{N}, L \in \operatorname{Hom}^{[n]}_0(\Gamma, \mathbb{C}) \} \right\rangle$。
• $\operatorname{Hom}^{[2]}_0(\Gamma, \mathbb{C})$ は $\mathbb{C} \oplus \operatorname{Hom}_0(\Gamma, \mathbb{C})$ に同型であり、第二階のポアンカレ級数の自然なパrametrization を提供する。