[論文レビュー] Parabolic-like maps

Luciana Luna Anna Lomonaco|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、外部動的において包絡固定点をもつ、多項式的写像に類似した正則写像である放物型的写像を導入する。放物型外部クラスを持つこの写像は、外部動的において放物型固定点を有する。本稿は、任意の2次放物型的写像が一意に特定されるモデル族 $ P_A(z) = z + \frac{1}{z} + A $ にハイブリッド同相であることを示すストレートネッシング定理を証明する。連結な空きジュリア集合を有する場合、一意性は $ A^2 = (A')^2 $ まで保たれる。

ABSTRACT

In this paper we introduce the notion of parabolic-like mapping, which is an object similar to a polynomial-like mapping, but with a parabolic external class, i.e. an external map with a parabolic fixed point. We prove a straightening theorem for parabolic-like maps, which states that any parabolic-like map of degree 2 is hybrid conjugate to a member of the family Per_1(1), and this member is unique (up to holomorphic conjugacy) if the filled Julia set of the parabolic-like map is connected.

研究の動機と目的

• 多項式的写像の理論を、放物型外部動的を有する写像へと拡張すること。
• 放物型的写像を、正則力学系の新たなクラスとして定義し、研究すること。
• 多項式的写像のストレートネッシング定理に類似した、放物型外部クラスに対するストレートネッシング定理を確立すること。
• 放物型的写像の外部クラスを特徴づけ、それを有理型写像のモデル族と関連付けること。
• 空きジュリア集合が連結である場合、ハイブリッド同相性が正則同相性を意味することを証明すること。

提案手法

• 放物型固定点をもつ外部写像を有する、正則な全射写像 $ f: U' \to U $ を持つ、三つ組 $ (f, U', U) $ として放物型的写像を定義する。ここで $ f $ は次数 $ d $ の正則な全射写像である。
• 放物型的写像の外部クラスを、単位円板上の放物型固定点をもつ、向きを保つ $ d $ 次の実解析的自己被覆として構成する。
• 可測リーマン写像定理と擬等角手術を用いて、放物型的写像とモデル写像との間のハイブリッド同値性を構成する。
• 単位円板を越えて擬等角写像を拡張する強い反射原理を適用し、ジュリア集合上での同相性の連続性を証明する。
• リッカーマン補題を用いて、ジュリア集合上で定義された連続的かつ局所擬等角な写像が、全体として擬等角的であり、したがって正則であることを示す。
• モデル族 $ P_A(z) = z + \frac{1}{z} + A $ に属する2つの写像 $ P_A $ と $ P_{A'} $ がハイブリッド同相であり、空きジュリア集合が連結ならば、$ A^2 = (A')^2 $ が成り立ち、したがって正則同相であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式的写像の概念は、放物型外部動的を有する系へと一般化可能か？
• RQ2 放物型的写像の外部クラスの構造は何か？また、多項式的写像における双曲的外部クラスとはどのように異なるか？
• RQ3 すべての2次放物型的写像がハイブリッド同相性によってストレートネッシング可能なモデル族は存在するか？
• RQ4 2つの放物型的写像の間でハイブリッド同相性が成り立つための条件は何か？
• RQ5 空きジュリア集合の位相的性質は、モデル族におけるストレートネッシングの一意性にどのように影響するか？

主な発見

• 放物型的写像は、外部動的において放物型固定点を有する正則写像として定義され、多項式的写像を放物型固定点を含む外部動的へと一般化する。
• モデル族 $ \{P_A(z) = z + \frac{1}{z} + A \mid A \in \mathbb{C}\} $ の外部クラスは、$ h_2(z) = \frac{3z^2 + 1}{3 + z^2} $ で与えられ、これは放物型固定点を有する。
• 空きジュリア集合が連結である限り、任意の2次放物型的写像は、一意に特定されるモデル族 $ \text{Per}_1(1) = \{[P_A] \mid P_A(z) = z + \frac{1}{z} + A\} $ にハイブリッド同相である。
• モデル族に属する2つの写像 $ P_A $ と $ P_{A'} $ がハイブリッド同相であり、空きジュリア集合が連結ならば、$ A^2 = (A')^2 $ が成り立ち、したがって正則同相である。
• 証明は、反射とリッカーマン補題を用いて、ジュリア集合を越えて擬等角同相性を拡張することに依拠し、グローバルな同相性の正則性を保証する。
• 空きジュリア集合 $ K_A $ は、$ \widehat{\mathbb{C}} \setminus \Lambda $ として定義され、ここで $ \Lambda $ は $ P_A $ に対して完全不変なパラボリック無限大の吸引域である。