[論文レビュー] Parallel queues with synchronization

Mariana Olvera‐Cravioto, Octavio Ruiz Lacedelli|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2014

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 39被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、ジョブが複数のピeceに分割され、ランダムにサーバーにルーティングされ、FCFS規則に従ってすべてのピeceでサービスの同期開始が必要となる多数サーバーのキューイングシステムを研究する。高次 Lindley 方程式を用いて、多くのサーバーの極限における定常待ち時間分布を確立し、単一サーバーのキューに対して一般化された Cramér-Lundberg 近似を拡張する正確な尾部漸近を導出する。

ABSTRACT

Motivated by the growing interest in today's massive parallel computing capabilities we analyze a queueing network with many servers in parallel to which jobs arrive a according to a Poisson process. Each job, upon arrival, is split into several pieces which are randomly routed to specific servers in the network, without centralized information about the status of the servers' individual queues. The main feature of this system is that the different pieces of a job must initiate their service in a synchronized fashion. Moreover, the system operates in a FCFS basis. The synchronization and service discipline create blocking and idleness among the servers, which is compensated by the fast service time attained through the parallelization of the work. We analyze the stationary waiting time distribution of jobs under a many servers limit and provide exact tail asymptotics; these asymptotics generalize the celebrated Cramér-Lundberg approximation for the single-server queue.

研究の動機と目的

• ジョブが分割され、分散サーバー間でサービス開始を同期する必要がある大規模な並列キューイングシステムをモデル化・分析すること。
• 特に大規模並列コンピューティング環境におけるブロッキングとアイドル状態に及ぼす同期と FCFS サービスディスципリンの影響を理解すること。
• サーバー数とジョブの到着レートがともに非常に大きくなるような、多数サーバーの漸近的状態における定常待ち時間分布を確立すること。
• 単一サーバーのキューに対して古典的な Cramér-Lundberg 近似を、より複雑な同期的マルチサーバー設定に一般化すること。
• 高負荷状態における大偏差行動を正確に捉えるために、待ち時間分布の正確な尾部漸近を提供すること。

提案手法

• システムを N 個の並列サーバーからなるキューイングネットワークとしてモデル化し、各ジョブがランダムな断片に分割され、中央集権的なキュー状態情報なしにサーバーに割り当てられる。
• 2つの主要な制約を課す：(1) ジョブのすべての断片が同時にサービスを開始しなければならない（同期）、(2) 各サーバーのキューは FCFS 原則に従う。
• 高次 Lindley 方程式を用いて、多くのサーバーの極限における定常待ち時間分布を導出する：$ W \stackrel{\mathcal{D}}{=} \left( \max_{1\leq i\leq N} (W_i + \chi_i - \tau_i) \right)^+ $、ここで $ W_i $ はサーバー i における待ち時間、$ \chi_i $ は断片のサービス時間、$ \tau_i $ は同期遅延を表す。
• 確率的固定点方程式と重み付き分枝過程を用いて、待ち時間分布の極限挙動を特徴付ける。
• 大偏差理論と Wasserstein 距離および一様可積分性を用いた収束議論を適用し、有限系の待ち時間分布が極限分布に収束することを証明する。
• 極限待ち時間分布が内生的であり、高次 Lindley 方程式を満たす条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数のサーバーに分散されたジョブ断片の同期が、大規模並列キューイングシステムにおける定常待ち時間分布にどのように影響を与えるか？
• RQ2 サーバー数とジョブの到着レートが無限大に近づく際、待ち時間分布の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ3 単一サーバーのキューに対して古典的な Cramér-Lundberg 近似を、この同期的マルチサーバー設定に一般化できるか？
• RQ4 このシステムにおける待ち時間分布の正確な尾部漸近は何か？ そして、サービス時間とルーティング特性にどのように依存するか？
• RQ5 極限待ち時間分布が存在し、導出された高次 Lindley 方程式を満たす条件は何か？

主な発見

• 多数サーバーの極限における定常待ち時間は、$ N $ 個の i.i.d. ランダム変数 $ (W_i + \chi_i - \tau_i)^+ $ の最大値を含む高次 Lindley 方程式の内生的解として特徴づけられる。
• 本稿では待ち時間分布の正確な尾部漸近を導出し、単一サーバーの Cramér-Lundberg 近似を同期的マルチサーバー状況に一般化する。
• ジョブサイズとルーティング分布にややきついモーメントおよび一様可積分性条件が課された場合、有限系の待ち時間分布が極限分布に収束することが証明された。
• サービス時間とルーティング分布が十分な次数までの有限モーメントを持つと仮定すれば、極限分布が安定的かつ適切に定義されることを示した。
• 収束の証明は Wasserstein 距離における収束と、ガンマ関数の漸近挙動およびジェンセンの不等式を用いた誤差制御によるモーメントバウンドに依存している。
• 確率的固定点方程式理論における導関数および根の条件を用いて、極限分布の存在条件を検証し、解が一意的かつ良好に振る舞うことを保証した。