[論文レビュー] Parallel spinors and holonomy groups on pseudo-Riemannian spinmanifolds

Helga Baum, Ines Kath|ArXiv.org|Mar 18, 1998

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、平行スピン接続を持つ単連結で、非局所的に対称でない擬リーマン多様体のホロノミー群を分類し、古典的なリーマン幾何の結果を不定符号の場合に拡張する。スピン接続の不変性を用いて、すべての可能なホロノミー群（例：SU(p,q)、Sp(p,q)、G₂*、Spin(7)C）を特定し、平行スピン接続のヘリシティおよび因果的性質を完全に特徴づける。その結果、スピン接続の次元および幾何的性質が、多様体の符号型と次元によって一意に決定されることが示された。

ABSTRACT

We describe the possible holonomy groups of simply connected irreducible non-locally symmetric pseudo-Riemannian spin manifolds which admit parallel spinors.

研究の動機と目的

• リーマン多様体に於ける平行スピン接続のホロノミー群の Wang の分類を、擬リーマン幾何の文脈に拡張すること。
• ベルジャーのリストに含まれるホロノミー群のうち、不定符号の場合に非自明な平行スピン接続を許容できるものはどれかを特定すること。
• 非局所的に対称でない、擬リーマン多様体上の平行スピン接続のヘリシティおよび因果的性質を完全に特徴づけること。
• 次元とインデックスでパrameter化された、非ゼロの平行スピン接続空間を持つ可能性のあるホロノミー群の完全なリストを確立すること。

提案手法

• ホロノミー群作用におけるスピン接続モジュールの不変部分空間として平行スピン接続の空間を特定する：$ V_{\tilde{H}} = \{ v \in \Delta_{r,s} \mid \rho(\tilde{H})v = v \} $。
• 次元 $ \dim V_{\tilde{H}} $ が複素化されたリー代数の実形式にのみ依存することを用い、計算をコンパクト実形式に還元する。
• スピン接続の計算とクライフォード代数の表現論を用いて、ベルジャーのリストに含まれる各ホロノミー群について $ V_{\tilde{H}} $ を明示的に計算する。
• 不定符号内積 $ \Delta_{r,s} $ を用いて、平行スピン接続のヘリシティ（正/負のスピン接続バンドル）および因果的性質（等光的、非等光的、直交的）を特定する。
• ホロノミー群が $ \mathrm{Spin}(r,s) $ に属する場合、$ \lambda: \mathrm{Spin}(r,s) \to \mathrm{SO}(r,s) $ の2重被覆を用いて、$ \mathrm{SO}(r,s) $ におけるホロノミー群と関連付ける。
• 特に偶数次元および奇数次元において、クライフォード代数およびスピン接続表現の既知の同型を用いて、$ \Delta_{r,s} $ の構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所的に対称でない、擬リーマン多様体上のホロノミー群のうち、非自明な平行スピン接続を許容できるものはどれか？
• RQ2 各ホロノミー群に対して、平行スピン接続空間の正確な次元は何か？
• RQ3 平行スピン接続のヘリシティおよび因果的性質は、符号型 $ (r,s) $ およびホロノミー群の性質にどのように依存するか？
• RQ4 擬リーマン多様体における平行スピン接続の分類は、複素化されたリー代数のコンパクト実形式に還元可能か？
• RQ5 各可能なホロノミー群によって固定されるスピン接続空間の幾何的および代数的構造は何か？

主な発見

• ホロノミー群 $ H = \mathrm{SU}(p,q) \subset \mathrm{SO}(2p,2q) $ は、正確に2つの平行スピン接続を支持する。ヘリシティおよび因果的性質は、$ p+q $ および $ p $ の偶奇性に依存する。
• ホロノミー群 $ H = \mathrm{Sp}(p,q) \subset \mathrm{SO}(4p,4q) $ の平行スピン接続空間の次元は $ p+q+1 $ であり、すべてが同じヘリシティ成分に属し、同じ因果的性質を持つ。
• ホロノミー群 $ \mathrm{G}_2^*_{2(2)} \subset \mathrm{SO}(4,3) $ は、正確に1つの非自明な平行スピン接続を支持する。そのスピン接続は非等光的である。
• 群 $ \mathrm{Spin}(7)^\mathbb{C} \subset \mathrm{SO}(8,8) $ は、正確に1つの平行スピン接続を支持する。そのスピン接続は非等光的であり、正のヘリシティバンドルに属する。
• 群 $ \mathrm{G}_2^\mathbb{C} \subset \mathrm{SO}(7,7) $ の平行スピン接続空間の次元は2であり、両方のスピン接続は等光的だが、互いに直交しない。
• 分類の結果、平行スピン接続の存在およびその性質が、多様体の次元とインデックス、およびホロノミー群の型によって一意に決定されることを示した。