[論文レビュー] Parameter estimation of discretely observed interacting particle systems

Chiara Amorino, Akram Heidari+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2022

Stochastic processes and financial applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、離散的に観測された相互作用粒子系が McKean-Vlasov SDE に従う場合の、ドリフト項および拡散項係数の同時推定のための擬似尤度対数関数を提案する。$ Delta_n \to 0$ および $N \to \infty$ の下での共同漸近的枠組みにおいて、推定量は一貫性を示し、$ Delta_n N \to 0$ の下で漸近正規性が成り立つ。これは非線形平均場SDEにおける推論の非漸近的枠組みを確立する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the problem of joint parameter estimation for drift and diffusion coefficients of a stochastic McKean-Vlasov equation and for the associated system of interacting particles. The analysis is provided in a general framework, as both coefficients depend on the solution of the process and on the law of the solution itself. Starting from discrete observations of the interacting particle system over a fixed interval $[0, T]$, we propose a contrast function based on a pseudo likelihood approach. We show that the associated estimator is consistent when the discretization step ($Δ_n$) and the number of particles ($N$) satisfy $Δ_n ightarrow 0$ and $N ightarrow \infty$, and asymptotically normal when additionally the condition $Δ_n N ightarrow 0$ holds.

研究の動機と目的

• 解の分布に依存するドリフト項および拡散項係数をもつ相互作用粒子系に対する統計的推論手法の不足に対処すること。
• 固定時間区間 $[0,T]$ 内での粒子系の離散時間観測に基づくパラメータ推定手順の開発。
• 時間分割と粒子数の両方の漸近的枠組みにおける推定量の一致性および漸近正規性の確立。

提案手法

• 相互作用粒子系の離散時間観測に基づいて、擬似尤度アプローチを用いた対数関数を構築する。
• SDE の係数における解の分布の近似として、経験測度 $\mu_t^{\theta,N}$ を用いる。
• 伊藤の公式と $L^p$ 範囲（$p \geq 1$）におけるモーメントバウンドを用いて、遷移密度近似における離散化誤差を制御する。
• 粒子状態および経験測度に関して、係数およびその導関数の多項式成長と滑らかさを保証する仮定に依存する。
• マーチング代分解とジェンセンの不等式を用いて、拡散係数の条件付き期待値のバイアスをバウンドする。
• 時間と粒子数のサンプリングの相互作用を制御するため、漸近正規性は追加的に $ Delta_n N \to 0$ の条件下で導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散時間観測に基づく相互作用粒子系から、McKean-Vlasov SDE のドリフト項および拡散項係数の両方のパラメータに対して、一貫性および漸近正規性を有する推定量を構築できるか？
• RQ2 推定の一致性を保証する $ Delta_n$ と $N$ の共同漸近的枠組みは何か？
• RQ3 係数が経験測度に依存することにより、推定量の収束性にどのような影響が生じるか？
• RQ4 擬似尤度対数関数は、非線形的平均場的性質を持つSDEを扱う際に果たす役割は何か？
• RQ5 推定量が漸近正規性を満たす条件は何か？また、$ Delta_n N \to 0$ 条件は推定量の分散にどのように影響するか？

主な発見

• 係数に関する正則性およびモーメント条件の下で、$ Delta_n \to 0$ および $N \to \infty$ の下で、提案された推定量は一貫性を示す。
• 同じ正則性仮定の下で、$ Delta_n N \to 0$ が追加的に成り立つ場合、漸近正規性が確立される。
• 対数関数は、分布に依存するドリフト項および拡散項係数を考慮した擬似尤度近似に基づく。
• 証明は、$i$ および $u$ に関して一様に成り立つ $L^p$ 範囲（$p \geq 1$）における、拡散係数の条件付き期待値のバウンドに依存する。
• 拡散係数の条件付き期待値を直前の時刻における値で近似する誤差が、$L^p$ 範囲で $O(\Delta_n^2)$ であることが示された。
• $ Delta_n N \to 0$ 条件は、推定量の漸近正規性にとって必須であり、推定分散の制御における時間分割と粒子数の間のトレードオフを反映している。