[論文レビュー] Parameter-free superconvergent $H(\mathrm{div})$-conforming HDG methods for the Brinkman equations

Guosheng Fu, Yanyi Jin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、単体メッシュおよび長方形メッシュの両方において、Brinkman方程式に対してパラメータフリーで超収束性を示す $H(\mathrm{div})$-適合ハイブリッド不連続ガラーキン（HDG）法を提案する。この手法は、速度勾配－速度－圧力の混合型式を採用し、ストークス支配領域およびダルシー支配領域の両方において、最適な $L^2$ 速度誤差推定を達成する。さらに、ストークス領域においては、速度誤差の射影に関して $L^2$ で1階高い超収束性を示し、$H(\mathrm{div})$-適合性のおかげで圧力の正則性に依存しない誤差境界を有する。

ABSTRACT

In this paper, we present new parameter-free superconvergent H(div)-conforming HDG methods for the Brinkman equations on both simplicial and rectangular meshes. The methods are based on a velocity gradient-velocity-pressure formulation, which can be considered as a natural extension of the H(div)-conforming HDG method (defined on simplicial meshes) for the Stokes flow [Math. Comp. 83(2014), pp. 1571-1598]. We obtain optimal error estimates in $L^2$-norms for all the variables in both the Stokes-dominated regime (high viscosity/permeability ratio) and Darcy-dominated regime (low viscosity/permeability ratio). We also obtain superconvergent L^2-estimate of one order higher for a suitable projection of the velocity error, which is typical for (hybrid) mixed methods for elliptic problems. Moreover, thanks to H(div)-conformity of the velocity, our velocity error estimates are independent of the pressure regularity. Preliminary numerical results on both triangular and rectangular meshes in two-space dimensions confirm our theoretical predictions.

研究の動機と目的

• ストークス支配領域およびダルシー支配領域の両方で良好に動作する、一様安定かつ高次のHDG法を構築すること。
• $H(\mathrm{div})$-適合性と新規の速度勾配－速度－圧力の混合型式を活用することで、他のHDG法やDG法で一般的に必要な安定化パラメータの必要性を排除すること。
• 双対問題の正則性仮定の下で、速度誤差の射影に関する $L^2$ で超収束性を示す誤差推定を達成すること。これはBrinkman方程式において初の試みである。
• 圧力の正則性に依存しない速度誤差推定を保証すること。これは、非圧縮流れのシミュレーションにおいて顕著な利点を有する。
• 将来の非圧縮ナビエ＝ストークス方程式への応用を可能にするために、速度場に関する離散 $H^1$-安定性結果を確立すること。

提案手法

• 本手法は、安定性と精度の向上を図るために、速度勾配を主変数として扱う速度勾配－速度－圧力の混合型式を採用する。
• 速度および速度勾配に対して $H(\mathrm{div})$-適合有限要素空間を用い、要素境界での法線方向フラックスの連続性を保証する。
• ハイブリダイゼーションプロセスにより、要素境界における速度および速度勾配の数値的トレースを導入し、静的縮退を可能にし、グローバル自由度を削減する。
• 通常のDG法やHDG法で必要とされる接線方向連続性のための安定化パラメータを回避するため、本手法はパラメータフリーである。
• ナビエ＝ストークス方程式への自然な拡張を可能にするために、速度場に関する離散 $H^1$-安定性結果を導出する。
• 数値フラックスをトレース作用素を用いて定義し、速度勾配の発散および法線成分による安定化を施すことで、弱ガラーキンに類似した離散系を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータフリーで $H(\mathrm{div})$-適合なHDG法は、ストークス支配領域およびダルシー支配領域の両方において、Brinkman方程式に対して最適かつ超収束性を示す $L^2$ 誤差推定を達成できるか？
• RQ2 速度場の $H(\mathrm{div})$-適合性により、速度誤差推定が圧力の正則性に依存しなくなり、圧力に頼らない性能が確保されるか？
• RQ3 速度場に対して離散 $H^1$-安定性結果を確立できるか？ これは、非圧縮ナビエ＝ストークス方程式への将来的な応用を可能にする。
• RQ4 ストークス領域において、速度誤差の適切な射影に関して $L^2$-ノルムで超収束性が達成可能か？ もしそうであれば、収束の次数は何か？
• RQ5 本手法は、三角形メッシュおよび長方形メッシュの両方で数値的にどのように動作するか？ また、数値実験の結果は理論的誤差推定を確認できるか？

主な発見

• ストークス支配領域およびダルシー支配領域の両方において、速度の最適な $L^2$ 誤差推定が達成され、多項式次数 $k$ に対して収束次数 $k+1$ を示す。これは、粘度／透水率比に依存しない。
• ストークス支配領域においては、双対問題の正則性仮定の下で、速度誤差の適切な射影に関して $L^2$ で収束次数 $k+2$ の超収束性を示す。
• $H(\mathrm{div})$-適合性のおかげで、速度誤差推定が圧力の正則性に依存せず、圧力に頼らない性能が確認された。
• ナビエ＝ストークス方程式への自然な拡張のための安定性解析に不可欠な、速度場に関する離散 $H^1$-安定性結果が確立された。
• 2次元における三角形メッシュおよび長方形メッシュに対する数値実験により、速度および速度勾配の両方の理論的収束率が確認された。
• 本手法はパラメータフリーであり、他のHDG法やDG法で一般的に必要な安定化パラメータの必要性を回避しており、よりロバストで簡潔な手法であることが示された。