[論文レビュー] Parameterized Complexity of Stable Roommates with Ties and Incomplete Lists Through the Lens of Graph Parameters

Robert Bredereck, Klaus Heeger+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Graph Theory Research被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、構造的グラフパラメータを用いて、縛り付きと不完全リストを伴う安定ルームメイト問題（SRTI）のパrameterized 複雑性を調査する。Max-SRTI が木深さ、木カット幅、および非交差パスモジュレータ番号の下で W[1]-困難であることを証明する一方で、Perfect-SRTI および SRTI-Existence が木カット幅の下で固定パrameter可解（FPT）であることを示す。また、フィードバックエッジセット番号をパラメータとする Max-SRTI に対して、3^fes(G) · n^O(1) の実行時間を持つ FPT アルゴリズムを提示する。

ABSTRACT

We continue and extend previous work on the parameterized complexity analysis of the NP-hard Stable Roommates with Ties and Incomplete Lists problem, thereby strengthening earlier results both on the side of parameterized hardness as well as on the side of fixed-parameter tractability. Other than for its famous sister problem Stable Marriage which focuses on a bipartite scenario, Stable Roommates with Incomplete Lists allows for arbitrary acceptability graphs whose edges specify the possible matchings of each two agents (agents are represented by graph vertices). Herein, incomplete lists and ties reflect the fact that in realistic application scenarios the agents cannot bring all other agents into a linear order. Among our main contributions is to show that it is W[1]-hard to compute a maximum-cardinality stable matching for acceptability graphs of bounded treedepth, bounded tree-cut width, and bounded feedback vertex number (these are each time the respective parameters). However, if we "only" ask for perfect stable matchings or the mere existence of a stable matching, then we obtain fixed-parameter tractability with respect to tree-cut width but not with respect to treedepth. On the positive side, we also provide fixed-parameter tractability results for the parameter feedback edge set number.

研究の動機と目的

• 縛り付きと不完全リストを伴う SRTI のパrameterized 複雑性を、構造的グラフパラメータを用いて分析すること。
• SRTI の異なるバージョンにおける固定パrameter可解性と W[1]-困難性の境界を特定すること。
• 従来の木幅と頂点被覆の研究を、木深さ、木カット幅、およびフィードバックエッジセットといったより強いグラフパラメータへと拡張すること。
• SRTI のパrameterized 複雑性の全体像を包括的に提示すること。
• 新しい FPT アルゴリズムの確立および既存のパラメータにおける困難性結果の強化すること。

提案手法

• Max-SRTI を、木幅が有界な修正された受理性グラフ H_F' 上の安定マッチング問題に還元する。
• フィードバックエッジセット F を用いて、すべての可能なマッチング F' ⊆ F を列挙し、未マッチド頂点は補助的な 3 サイクルを用いて処理する。
• 各辺 e ∈ F ∖ F' に対して、どの端点がマッチングを好むかを示す関数 f(e) ∈ e を推測する。
• 潜在的なブロッキングペアを持つ頂点に 3 サイクルを追加することで、グラフ H_F' を構築し、H_F' における安定マッチングが元のグラフにおける安定マッチングに対応することを保証する。
• 既知の XP アルゴリズム（木幅 ≤2 のパラメータ化で Max-SRTI を解く）を用いて、変換されたインスタンスを解く。
• H_F' の木分解（幅は 2 以下）を用いて、変換されたインスタンスの多項式時間可解性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Max-SRTI は、木深さ、木カット幅、または非交差パスモジュレータ番号をパラメータとする場合、固定パrameter可解（FPT）であるか？
• RQ2 Perfect-SRTI または SRTI-Existence は、木カット幅をパラメータとする場合、FPT 時間で解けるか？
• RQ3 Max-SRTI は、フィードバックエッジセット番号をパラメータとする場合、FPT であるか？
• RQ4 Max-SRTI に対して、木カット幅またはフィードバックエッジセットをパラメータとする FPT アルゴリズムの最適な実行時間は何か？
• RQ5 SRTI の固定パrameter可解なケースに対して、多項式カーネルを構築できるか？

主な発見

• Max-SRTI は、木深さ、木カット幅、または非交差パスモジュレータ番号をパラメータとする場合、W[1]-困難である。
• Perfect-SRTI および SRTI-Existence は、木カット幅をパラメータとする場合、固定パrameter可解（FPT）である。
• Max-SRTI は、フィードバックエッジセット番号をパラメータとする場合、実行時間 3^fes(G) · n^O(1) の FPT アルゴリズムを有する。
• 木幅が 2 以下のグラフへの還元により、変換されたインスタンスの多項式時間可解性が保証される。
• 補助的な 3 サイクルの構築により、潜在的なブロッキングペアを持つ頂点が、変更されたグラフのすべての安定マッチングでマッチングされることが保証される。
• 実行時間の上限 3^fes(G) · n^O(1) は、指数関数的要因を除いてタイトであり、2^O(fes(G)) への改善は未解決の問題のまま残っている。