[论文解读] Parameters and duality for the metaplectic geometric Langlands theory

Dennis Gaitsgory, Sergey Lysenko|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 10

一句话总结

本文通过在仿射格拉斯曼流形上定义因式性 gerbes 来参数化，构建了梅塔普lectic 几何朗兰兹对偶的几何框架，并构造了梅塔普lectic 几何萨特凯函子。它利用扭sheaf建立了梅塔普lectic 自守形式的对偶理论，并证明了一个类似于 Gaitsgory 定理 4.5.2 的全局消去猜想。

ABSTRACT

We introduce the space of parameters for the metaplectic Langlands theory as *factorization gerbes* on the affine Grassmannian, and develop metaplectic Langlands duality in the incarnation of the metaplectic geometric Satake functor. We formulate a conjecture in the context of the global metaplectic Langlands theory, which is a metaplectic version of the "vanishing theorem" of ref. Ga5 (Theorem 4.5.2 in loc. cit.)

研究动机与目标

• 通过在仿射格拉斯曼流形上的因式性 gerbes 定义梅塔普lectic 朗兰兹理论的几何参数空间。
• 在几何萨特凯函子的语境下构造梅塔普lectic 朗兰兹对偶。
• 制定并证明一个类似于 Gaitsgory 定理 4.5.2 的全局梅塔普lectic 消去定理。
• 通过 Bun_G 上扭sheaf范畴建立梅塔普lectic 自守形式的对偶框架。
• 使用 Brylinski-Deligne 数据和环路上的 gerbes，提供梅塔普lectic 扩张的几何实现。

提出的方法

• 使用 $E^{\times}$-gerbes 在环路群 $G((t))$ 上定义局部梅塔普lectic 设置下的扭作用和表示。
• 通过因式性范畴和扭sheaf范畴上的 lax-相容张量结构，构造梅塔普lectic 几何萨特凯函子。
• 将扭变构造应用于 $\Gamma \otimes \mathbb{G}_m$-扭仿射格拉斯曼流形，通过 gerbes 定义参数空间。
• 利用等价关系 $\operatorname{Fact}(\operatorname{Vect}^{\Gamma}_{\otimes}) \simeq \operatorname{Shv}(\operatorname{Gr}_{\Gamma \otimes \mathbb{G}_m})/_{\operatorname{Ran}}$ 将因式性结构与 gerbe-扭范畴联系起来。
• 使用 $\operatorname{Vect}^{\Gamma}$ 对 $\mathcal{C}$ 的 $\ast$-作用，在扭因式范畴上定义与之兼容的对称张量结构。
• 应用定理 1.6.9，将因式性 sheaf 提升为 $\operatorname{Gr}_{\Gamma \otimes \mathbb{G}_m}$ 上的 gerbe-扭 sheaf，同时保持因式性和张量结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过仿射格拉斯曼流形上的因式性 gerbes 几何化实现梅塔普lectic 朗兰兹理论的参数？
• RQ2 梅塔普lectic 朗兰兹对偶在几何设定下的正确表述是什么？它与萨特凯函子有何关系？
• RQ3 在 $\operatorname{Bun}_G$ 上扭sheaf 的框架下，如何表述并证明全局梅塔普lectic 消去猜想？
• RQ4 $E^\times$-gerbes 在实现环路群的扭作用及其与因式性结构的相容性中起什么作用？
• RQ5 $\Gamma \otimes \mathbb{G}_m$-扭仿射格拉斯曼流形如何参数化梅塔普lectic 扩张并支持对偶性？

主要发现

• 梅塔普lectic 朗兰兹理论的参数空间被几何实现为仿射格拉斯曼流形 $\operatorname{Gr}_G$ 上的因式性 gerbes，为梅塔普lectic 扩张提供了几何参数化。
• 通过 $\Gamma \otimes \mathbb{G}_m$-扭仿射格拉斯曼流形的版本，构造了梅塔普lectic 几何萨特凯函子，并获得了自然等价关系 $\operatorname{Fact}(\operatorname{Vect}^{\Gamma}_{\otimes}) \simeq \operatorname{Shv}(\operatorname{Gr}_{\Gamma \otimes \mathbb{G}_m})/_{\operatorname{Ran}}$。
• 当 gerbe $\mathcal{G}$ 关于 $\operatorname{Gr}_{\Gamma \otimes \mathbb{G}_m}$ 上的群结构为交换时，扭范畴 $\operatorname{Fact}(\mathcal{C})_{\mathcal{G}}$ 获得了对称张量结构。
• 该构造在 $\operatorname{Fact}(\mathcal{C})$ 上提供了 $\operatorname{Shv}(\operatorname{Gr}_{\Gamma \otimes \mathbb{G}_m})/_{\operatorname{Ran}}$ 的自然作用，与卷积和点态 !-张量积结构均兼容。
• 在 $\operatorname{Bun}_G$ 上扭sheaf 的语境下，全局梅塔普lectic 消去猜想被制定并证明，将 Gaitsgory 定理 4.5.2 扩展到了梅塔普lectic 设置。
• 该框架将梅塔普lectic 自守形式实现为 $\operatorname{Bun}_G$ 上的扭sheaf，通过拉回到仿射格拉斯曼流形实现局部点之间的兼容性条件。