[論文レビュー] Parametrization of local biholomorphisms of real analytic hypersurfaces

M. S. Baouendi, Peter Ebenfelt+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 1997

Holomorphic and Operator Theory参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、$C^N$ 内の1つの実解析的で、有限非退化な超曲面から別の超曲面への局所正則微分同相写像の芽の集合が、適切な次数の複素ジャンプ群内に自然に埋め込まれることを確立している。主な結果は、このような超曲面間の正則微分同型性が、ジャンプ群内での明示的に計算可能な方程式系の解法に帰着できることであり、すべての形式的同型写像が収束することを示しており、形式的同型と正則的同型が一致することを示している。

ABSTRACT

Let $M$ be a real analytic hypersurface in $\bC^N$ which is finitely nondegenerate, a notion that can be viewed as a generalization of Levi nondegenerate, at $p_0\in M$. We show that if $M'$ is another such hypersurface and $p'_0\in M'$, then the set of germs at $p_0$ of biholomorphisms $H$ with $H(M)\subset M'$ and $H(p_0)=p'_0$, equipped with its natural topology, can be naturally embedded as a real analytic submanifold in the complex jet group of $\bC^N$ of the appropriate order. We also show that this submanifold is defined by equations that can be explicitly computed from defining equations of $M$ and $M'$. Thus, $(M,p_0)$ and $(M',p'_0)$ are biholomorphically equivalent if and only if this (infinite) set of equations in the complex jet group has a solution. Another result obtained in this paper is that any invertible formal map $H$ that transforms $(M,p_0)$ to $(M',p'_0)$ is convergent. As a consequence, $(M,p_0)$ and $(M',p'_0)$ are biholomorphically equivalent if and only if they are formally equivalent.

研究の動機と目的

• 1つの実解析的超曲面の有限非退化点における、別の実解析的超曲面への局所正則微分同相写像の芽の空間を特徴付けること。
• このような正則微分同相写像の空間が、複素ジャンプ群内に自然に実解析的部分多様体として埋め込まれることを示すこと。
• 2つのこのような超曲面が正則微分同型であるかどうかを特定する、ジャンプ群内での明示的な方程式系を提供すること。
• 形式的同型性が正則的同型性を意味することを確立し、CR幾何学における重要な問題を解決すること。

提案手法

• 著者たちは、リーヴィ非退化性の一般化である有限非退化性の概念を用い、超曲面の幾何的制御を十分に保証する。
• 正則微分同相写像の芽の空間を、非退化性のタイプに応じた次数の複素ジャンプ群に埋め込む。
• 定義方程式の収束性および解析的性質を用いて、この埋め込みが実解析的部分多様体であることを示す。
• 部分多様体の定義方程式は、元の超曲面 $M$ と $M'$ の実解析的定義方程式から明示的に構成される。
• 形式的べき級数写像の収束性が有限非退化性のもとで保証されることに依拠し、複素解析およびCR幾何学の道具を用いる。
• ジャンプ群の構造により、同型問題が有限次元複素多様体内の連立一次方程式系の解法に還元可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの実解析的超曲面間の正則微分同相写像の芽の空間は、標準的な方法でパラメータ化可能か？
• RQ2 このような正則微分同相写像の集合は、ジャンプ群内に自然に実解析的部分多様体として存在するか？
• RQ3 正則微分同型性の条件は、ジャンプ群内での明示的に計算可能な方程式系として表現可能か？
• RQ4 2つのこのような超曲面間で形式的同型性が成立するならば、正則的同型性も成立するか？
• RQ5 有限非退化性は、超曲面間の形式的写像の収束性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 点 $p_0$ と $p_0'$ における超曲面 $M$ から $M'$ への正則微分同相写像の芽の集合は、適切な次数の複素ジャンプ群内に実解析的部分多様体として埋め込まれる。
• この部分多様体は、$M$ と $M'$ の定義方程式から明示的に計算可能な方程式で定義される。
• 2つの超曲面が正則微分同型であるための必要十分条件は、ジャンプ群内の方程式系が解を持つことである。
• $(M,p_0)$ から $(M',p_0')$ への可逆な形式的写像はすべて収束するため、形式的同型と正則的同型が一致する。
• この結果は、古典的なリーヴィ非退化性条件の一般化である有限非退化性の仮定のもとで成り立つ。
• パラメータ化により、ジャンプ群データに基づく完全かつアルゴリズム的同型判定基準が得られる。