[論文レビュー] Partial boundary regularity for co-dimension one area-minimizing currents at immersed $C^{1,\alpha}$ tangential boundary points

Leobardo Rosales|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$C^{1,\beta}$ 垂直境界点における codimension one の面積最小化カレントの部分境界正則性を確立し、定数方向を持つ接錐条件のもとで、境界付近でカレントが $C^{1,\alpha/(4n+6)}$ 関数のグラフとして局所的に表されることを証明する。この結果は、Hardt-Simon の境界正則性を、原点で複数の $C^{1,\alpha}$ 部分多様体が接して交わる場合に拡張し、接錐の一意性を保証する。

ABSTRACT

We give partial boundary regularity for co-dimension one absolutely area-minimizing currents at points where the boundary consists of a sum of $C^{1,\alpha}$ submanifolds, possibly with multiplicity, meeting tangentially, given that the current has a tangent cone supported in a hyperplane with constant orientation vector; this partial regularity is such that we can conclude the tangent cone is unique. The proof follows closely the boundary regularity result given by Hardt and Simon in [9].

研究の動機と目的

• Hardt と Simon の境界正則性結果を、原点で複数の $C^{1,\alpha}$ 部分多様体が接して交わる面積最小化カレントに拡張すること。
• 定数方向を持つ接錐条件のもとで、カレントが境界付近で $C^{1,\beta}$ 関数のグラフとして局所的に表されること、$\beta = \alpha/(4n+6)$ を示すこと。
• 与えられた幾何的および正則性仮定のもとで、原点における接錐の一意性を証明すること。
• 幾何測度論における自由境界を持つ $c$-Plateau 問題の基礎的正則性結果を提供すること。

提案手法

• Hardt と Simon の境界正則性証明における吹き上げおよび単調性技法を、複数の接して交わる $C^{1,\alpha}$ 境界成分を持つ場合に適応する。
• 定数定理およびスライシング技法を用いて、$n$ 次元スライスにおける境界付近のカレントの構造を分析する。
• 境界超平面付近でのカレントの挙動を制御するため、修正されたホフプ型境界点補題を適用する。
• 写像 $q(t,x) = (x_1,\dots,x_{n-1},tx_n,tx_{n+1})$ を用いた同次スケーリング議論により、カレントとモデル接錐を関連付ける。
• 境界部分多様体の $\alpha$-ホルダー正則性を用いて、反復的スライシングと次元に関する帰納法により、内部への正則性の伝播を実現する。
• Federer および Almgren の整数可測多様体カレントおよび接錐の理論、特にリスケーリングの弱極限による接錐の定義を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 面積最小化カレントが、複数の $C^{1,\alpha}$ 部分多様体が接して交わる境界の付近で正則であるのはどのような条件下か？
• RQ2 境界が単一の部分多様体ではなく、重複度付きの $C^{1,\alpha}$ 成分の和である場合、接錐の一意性を確立できるか？
• RQ3 接錐が定数方向を持ち、半空間に支持を持つ場合、そのような境界付近でのカレントにどのような正則性が保証できるか？
• RQ4 境界部分多様体の正則性は、カレントの内部へどのように伝播するか？
• RQ5 Hardt と Simon の手法は、非埋め込みまたは複数の境界成分を含む設定に拡張可能か？

主な発見

• カレントは、水平超平面 $\mathbb{R}^n \times \{0\}$ の原点近傍で、$C^{1,\alpha/(4n+6)}$ 関数のグラフとして局所的に表される。
• 原点における接錐は、$Q = M E^n_{\{y_n > 0\}} + m E^n_{\{y_n < 0\}}$ として一意に定まる。ただし $M \geq 2$、$m \in \{1,\dots,M-1\}$。
• 正則性指数 $\beta = \alpha/(4n+6)$ は、与えられた仮定のもとで鋭く、$C^{1,\alpha}$ 境界正則性と次元 $n$ の相互作用に起因する。
• 面積最小化条件を安定性に緩和すると、2値最小曲面による反例により、この結果は成り立たなくなる。
• 高codimensionでは、この結果は拡張されない。これは、$\mathbb{C}^2$ 内の正則的多様体 $\{z^3 = w^2\}$ によって示される。
• 証明は次元に関する帰納法とスライシング技法に依拠し、問題を低次元正則性に還元する。最終的には定数定理と $C^{1,\alpha}$ 境界データに依存する。