[論文レビュー] Partial hyperbolicity and attracting regions in 3-dimensional manifolds

Rafaël Potrie|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 124被引用数 17

ひとこと要約

本学位論文は、3次元多様体上の部分的双曲的力学を調査し、吸引子とホモクラインクラスの構造に焦点を当てる。グローバル吸引子を持たない微分同相写像の新しい例を構成し、特定の$$\mathbb{T}^3$$微分同相写像について動的整合性を確立した。部分的双曲性のもとで、周期点のホモクラインクラスが一致することを証明し、ホモクラインでない点の集合を、2つの双曲的周期点の安定・不安定多様体の横断的交わりとして特徴づけた。

ABSTRACT

This thesis attempts to contribute to the study of differentiable dynamics both from a semi-local and global point of view. The center of study is differentiable dynamics in manifolds of dimension 3 where we are interested in the understanding of the existence and structure of attractors as well as dynamical and topological implications of the existence of a global partially hyperbolic splitting. The main contributions are new examples of dynamics without attractors where we get a quite complete description of the dynamics around some wild homoclinic classes and two results on dynamical coherence of partially hyperbolic diffeomorphisms of $\TT^3$.

研究の動機と目的

• 部分的双曲性の下で3次元多様体における吸引子の存在および位相的構造を理解すること。
• グローバル吸引子が存在しない状況におけるワイルドなホモクラインクラスの周囲の力学を分析すること。
• $$\mathbb{T}^3$$上の部分的双曲的微分同相写像が動的整合性を示す条件を確立すること。
• 与えられた周期点のホモクラインクラスに属さない点の集合を、安定・不安定多様体の観点から特徴づけること。

提案手法

• 局所微分同相写像を用いて、小さな近傍に台を持つ変形を施し、軌道構造を変更する$$C^r$$-摂動の構成。
• $$\lambda$$-補題を適用して不安定多様体の$$C^1$$-極限を分析し、横断的交わりを導出する。
• 双曲的集合の局所的最大性を用いて、小さな摂動に対しても交わりの性質が安定することを保証する。
• 周期点の安定・不安定多様体の構造とその交わりを用いて、力学を分析する。
• 横断性の議論とcodimension-one部分多様体論を用いて、特定の交わり性質を持つ微分同相写像の集合を研究する。
• 孤立性と稠密性の議論を用いて、$$p$$のホモクラインクラスに属さない点は$$W^s(q) \cap W^u(p)$$に属することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $$\mathbb{T}^3$$上の部分的双曲的微分同相写像が動的整合性を示す条件は何か？
• RQ2 グローバルな部分的双曲的分解をもつ3次元多様体において、非吸引的かつ非ホモクライン領域の構造は何か？
• RQ3 グローバル吸引子が存在しない状況で、2つの双曲的周期点の安定・不安定多様体はどのように相互作用するか？
• RQ4 部分的双曲性のもとで、周期点のホモクラインクラスは、その周期軌道の閉包として特徴づけられるか？
• RQ5 ホモクラインクラスの文脈において、集合$$W^s(q) \cap W^u(p)$$の位相的および力学的意味は何か？

主な発見

• 安定指数が2である限り、鎖的再帰集合$$\mathcal{C}$$に属する任意の双曲的周期点のホモクラインクラスは、点$$p$$のホモクラインクラスと一致する。
• 安定指数が1の周期点については、ホモクラインクラスが$$q$$のものと一致し、$$q$$へのホモクライン関係が確立される。
• $$\mathcal{C} \setminus H_f$$は正確に$$W^s(q) \cap W^u(p)$$に一致し、これらの点は$$\mathcal{C}$$において孤立しているため、ホモクラインクラス内の周期軌道の極限点ではない。
• $$p$$と$$q$$のホモクラインクラスは一致しており、それぞれが他方のクラスにおいて横断的交わりと周期点の稠密性によって、互いに稠密に存在する。
• $$n$$が大きいとき$$W^{uu}_{loc}(f^n(x))$$が$$W^s(p)$$と交わるような微分同相写像の集合は残渣的集合をなしており、一般的な力学的挙動を示している。
• $$f^n(W^{uu}_{loc}(p))$$と$$W^{ss}_{loc}(q)$$の横断的交わりを持つ微分同相写像の集合$$\mathcal{D}$$は、可算個のcodimension-one部分多様体の和集合として表され、$$n$$が大きい場合の一般的な非交わり性を示唆する。