[論文レビュー] Partial Isometries, Duality, and Determinantal Point Processes

Makoto Katori, Tomoyuki Shirai|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2019

Random Matrices and Applications参考文献 60被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ヒルベルト空間 $L^2(S_\nu, \lambda_\nu)$, $\nu=1,2$ 上の部分等長作用素と双対性を用いた新しい枠組みを導入し、行列式点過程（DPP）の対を構築する。もし有界線形作用素 $\mathcal{W}: H_1 \to H_2$ が局所ヒルベルト＝シュミットクラスの部分等長作用素であれば、$\mathcal{W}^*\mathcal{W}$ から一意にDPPが得られることを示している。さらに $\mathcal{W}^*$ も局所ヒルベルト＝シュミットクラスであれば、双対なDPPの対が出現し、新たな構造的対称性と普遍DPP族の複数のカーネル表現が明らかになる。

ABSTRACT

A determinantal point process (DPP) is an ensemble of random nonnegative-integer-valued Radon measures $Ξ$ on a space $S$ with measure $λ$, whose correlation functions are all given by determinants specified by an integral kernel $K$ called the correlation kernel. We consider a pair of Hilbert spaces, $H_{\ell}, \ell=1,2$, which are assumed to be realized as $L^2$-spaces, $L^2(S_{\ell}, λ_{\ell})$, $\ell=1,2$, and introduce a bounded linear operator ${\cal W} : H_1 o H_2$ and its adjoint ${\cal W}^{\ast} : H_2 o H_1$. We show that if ${\cal W}$ is a partial isometry of locally Hilbert--Schmidt class, then we have a unique DPP on $(Ξ_1, K_1, λ_1)$ associated with ${\cal W}^* {\cal W}$. In addition, if ${\cal W}^*$ is also of locally Hilbert--Schmidt class, then we have a unique pair of DPPs, $(Ξ_{\ell}, K_{\ell}, λ_{\ell})$, $\ell=1,2$. We also give a practical framework which makes ${\cal W}$ and ${\cal W}^{\ast}$ satisfy the above conditions. Our framework to construct pairs of DPPs implies useful duality relations between DPPs making pairs. For a correlation kernel of a given DPP our formula can provide plural different expressions, which reveal different aspects of the DPP. In order to demonstrate these advantages of our framework as well as to show that the class of DPPs obtained by this method is large enough to study universal structures in a variety of DPPs, we report plenty of examples of DPPs in one-, two-, and higher-dimensional spaces $S$, where several types of weak convergence from finite DPPs to infinite DPPs are given. One-parameter ($d \in \mathbb{N}$) series of infinite DPPs on $S=\mathbb{R}^d$ and $\mathbb{C}^d$ are discussed, which we call the Euclidean and the Heisenberg families of DPPs, respectively, following the terminologies of Zelditch.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間間の有界線形作用素を用いて、双対な行列式点過程（DPP）の対を構築する一般的手法を確立すること。
• 作用素 $\mathcal{W}$ が $\mathcal{W}^*\mathcal{W}$ から一意にDPPを生成する条件、および $\mathcal{W}$ と $\mathcal{W}^*$ の両方から双対なDPPの対が得られる条件を特定すること。
• 同じDPPに対して複数の非同値なカーネル表現が得られることを示し、隠れた構造的対称性を明らかにすること。
• ユークリッド空間およびヘイゼンベルク空間における、$\mathbb{R}^d$ および $\mathbb{C}^d$ 上の無限DPPの構成を通じて、この手法の広範な適用可能性を示すこと。

提案手法

• 本枠組みは、ヒルベルト空間 $H_\nu = L^2(S_\nu, \lambda_\nu)$ 間の有界線形作用素 $\mathcal{W}: H_1 \to H_2$ を用い、$\mathcal{W}$ が局所ヒルベルト＝シュミットクラスの部分等長作用素であると仮定する。
• $\mathcal{W}^*\mathcal{W}$ を用いて $S_1$ 上にDPPを構築し、相関カーネル $K_1 = \mathcal{W}^*\mathcal{W}$ を定義する。このカーネルがトレースクラスかつ正定値であることを保証する。
• $\mathcal{W}^*$ も局所ヒルベルト＝シュミットクラスであれば、$S_2$ 上に相関カーネル $K_2 = \mathcal{W}\mathcal{W}^*$ を持つ双対DPPが生成され、両過程の間の双対性が確立される。
• 本手法は、$\mathcal{W}^*\mathcal{W}$ と $\mathcal{W}\mathcal{W}^*$ の固有値特性を活用し、積分カーネルの行列式による相関関数を定義する。
• 双対性を活用することで、同じDPPに対して複数の異なるカーネル表現が可能となり、幾何的および代数的側面の多様な側面が明らかになる。
• 1次元、2次元、および高次元における明示的な例を通じて、有限DPPから無限DPPへの弱収束の検証が行われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの有界線形作用素 $\mathcal{W}$ が $\mathcal{W}^*\mathcal{W}$ を通じて $S_1$ 上にDPPを生成し、$\mathcal{W}\mathcal{W}^*$ を通じて $S_2$ 上に双対DPPを生成できるか？
• RQ2 どのような作用素論的条件が、$\mathcal{W}^*\mathcal{W}$ から一意にDPPが存在すること、および $\mathcal{W}$ と $\mathcal{W}^*$ の両方から双対なDPPの対が得られることを保証するか？
• RQ3 DPP間の双対性関係が、同じ相関カーネルに対して複数の非同値な表現をどのように明らかにするか？
• RQ4 本枠組みを用いて、特にユークリッド空間および複素空間でどのような普遍DPP族を構築できるか？
• RQ5 本枠組みは、$\mathbb{R}^d$ および $\mathbb{C}^d$ 上の有限DPPから無限DPPへの弱収束を記述できるか？

主な発見

• 作用素 $\mathcal{W}: H_1 \to H_2$ が局所ヒルベルト＝シュミットクラスの部分等長作用素であれば、$S_1$ 上に一意にDPPが構成され、相関カーネルは $K_1 = \mathcal{W}^*\mathcal{W}$ である。
• $\mathcal{W}^*$ も局所ヒルベルト＝シュミットクラスであれば、$S_2$ 上に相関カーネル $K_2 = \mathcal{W}\mathcal{W}^*$ を持つ双対DPPが出現し、両点過程の間の双対性が確立される。
• 本枠組みにより、同じDPPに対して複数の異なるカーネル表現が可能となり、双対性を通じて異なる構造的および幾何的特徴が明らかになる。
• 本手法により、$\mathbb{R}^d$ および $\mathbb{C}^d$ 上に1パラメータ族の無限DPPが構成され、それぞれユークリッド族およびヘイゼンベルク族と呼ばれる（Zelditchの用語に準拠）。
• 本枠組みは、1次元、2次元、および高次元空間における有限DPPから無限DPPへの弱収束を支持しており、広範な適用可能性を示している。
• $\mathbb{R}^d$ および $\mathbb{C}^d$ 上の明示的例により、作用素論的構成によって普遍DPP構造が存在することが確認された。