[論文レビュー] Partial Komori fields and imperative Komori fields

J.A. Bergstra, C.A. Middelburg|ArXiv.org|Sep 29, 2009

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、1/0 が許可されない（undefined ではなく）という慣習的規則を形式化する『命令的 Komori 領域』という概念を通じて、数学者が 1/0 をどのように扱うかを検討する。部分関数の論理（McCarthy の結合子と Bochvar の量化子を用いるが）であっても、数学的実践が実際に 1/0 を不正に使用しない方法で排除できないため、数学的実践を完全に捉えることはできないと主張する。

ABSTRACT

This paper is concerned with the status of 1/0 and ways to deal with it. These matters are treated in the setting of Komori fields, also known as non-trivial cancellation meadows. Different viewpoints on the status of 1/0 exist in mathematics and theoretical computer science. We give a simple account of how mathematicians deal with 1/0 in which a customary convention among mathematicians plays a prominent part, and we make plausible that a convincing account, starting from the popular computer science viewpoint that 1/0 is undefined, by means of some logic of partial functions is not attainable.

研究の動機と目的

• 1/0 に関する支配的数学的慣習を明確化すること。この慣習は、1/0 を未定義と見なすのでなく、使用を禁止するものである。
• 部分関数の論理が、実際に数学者が 1/0 をどのように推論するかを説得力を持ってモデル化できるかどうかを調査すること。
• 『命令的 Komori 領域』という概念を形式化し、この慣習を理解するための枠組みを提供すること。
• 三値論理（特に McCarthy の結合子と Bochvar の量化子を備えたもの）が、未定義式を含む数学的推論をモデル化するのにどれほど適切であるかを評価すること。
• 部分関数の論理で最も説得力があるものでさえ、1/0 の取り扱いに関して数学的実践と完全に一致しないことを示すこと。

提案手法

• 1/0 が未定義であると見なすコンピュータサイエンス的視点を反映する、除法が部分関数である部分 Komori 領域を導入する。
• 1/0 の使用を禁止する慣習を追加することで、Komori 領域を拡張し、命令的 Komori 領域を定義する。
• 三値論理（Bochvar、Kleene、McCarthy）を用いて、1/0 を含む論理式の評価を行い、真偽値と量化子の振る舞いに注目する。
• 弱い等価性と二値論理の慣習を用いて、真偽値がブール値でない論理式をフィルタリングし、数学的実践に一致するようにする。
• 異なる論理における重要な論理式（例：0 ≠ 0 → 0/0 = 1）の真偽値を比較し、数学的直観との整合性を評価する。
• McCarthy の結合子、Bochvar の量化子、および二値論理の慣習を組み合わせた部分ミルド（meadow）の論理 ${\mathcal{L}_{\mathrm{PMd}}}$ を提案し、数学的推論に最も近い近似とみなす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数学的実践において、数学者は 1/0 の式をどのように慣習的に扱っているか？
• RQ2 部分関数の論理が、数学者が 1/0 を実際にどのように推論するかを適切にモデル化できるか？
• RQ3 未定義式に関する数学的実践を形式化するにあたり、『命令的』慣習の役割は何か？
• RQ4 異なる三値論理（Bochvar、Kleene、McCarthy）は、1/0 を含む論理式をどのように評価するか？
• RQ5 なぜ、部分関数の論理で最も洗練されたものでさえ、1/0 を含む数学的推論の説明を説得力を持って行えないのか？

主な発見

• 数学者は 1/0 に意味を与えない。代わりに、慣習的な規則によってその使用を禁止する。この規則は、命令的 Komori 領域として形式化される。
• 0 ≠ 0 → 0/0 = 1 という論理式は、数学的実践において真であると見なされ、これは McCarthy と Kleene の結合子によって正しく捉えられるが、Bochvar の結合子では捉えられない。
• 利点が多くあるにもかかわらず、McCarthy の結合子と Bochvar の量化子を用いる論理 ${\mathcal{L}_{\mathrm{PMd}}}$ でさえ、0 = 0 ∨ 0/0 = 1 に対して真偽値 ${\mathsf{T}}$ を割り当てており、これは数学的実践に反する。
• ${\mathcal{L}_{\mathrm{PMd}}}$ が不正な 1/0 の使用を排除できないことから、部分関数の論理では、数学的推論における非公式だが一貫した慣習を完全に捉えることはできない。
• 真偽値がブール値でない文を排除する二値論理の慣習も、意味的に無効な論理式の受容を防げないため、問題を解決しない。
• 結論として、部分関数の論理では、数学的実践が 1/0 をどのように扱うかを説得力を持って説明することはできない。たとえ強い意味論的制約を追加したとしても同様である。