[論文レビュー] Partial quasi-morphisms and quasi-states on cotangent bundles, and symplectic homogenization

Alexandra Monzner, Nicolas Vichery+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、閉連結多様体 $N$ の余接 bundle $T^*N$ 上のコンパクトに台を持つ滑らかな関数の空間およびハミルトニアン群上で、$a \in H^1(N;\mathbb{R})$ をパrameterとする部分準同型 $\mu_a$ と準状態 $\zeta_a$ の族を構成する。これらの関数はエントフ＝ポルトェロヴィッチ理論を一般化し、$N = \mathbb{T}^n$ のときにはヴィテルボのシンプレクティック平均化と一致する。これにより、ラグランジュ・フローホモロジーにおけるスペクトル不変量を用いた、シンプレクティック剛性、ホーファー幾何学、ポアンカール・ブラケット不等式、マザー理論への統一的枠組みが得られる。

ABSTRACT

For a closed connected manifold N, we construct a family of functions on the Hamiltonian group G of the cotangent bundle T^*N, and a family of functions on the space of smooth functions with compact support on T^*N. These satisfy properties analogous to those of partial quasi-morphisms and quasi-states of Entov and Polterovich. The families are parametrized by the first real cohomology of N. In the case N=T^n the family of functions on G coincides with Viterbo's symplectic homogenization operator. These functions have applications to the algebraic and geometric structure of G, to Aubry-Mather theory, to restrictions on Poisson brackets, and to symplectic rigidity.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン群 $\mathbb{T}^n$ の設定を超えて、一般の閉連結多様体 $N$ の余接 bundle $T^*N$ に対して部分準同型および準状態の理論を拡張すること。
• ラグランジュ・フローホモロジーからのスペクトル不変量を用いて、$\mu_a$ および $\zeta_a$ の統一的構成を確立すること。
• $N = \mathbb{T}^n$ のとき、$\mu_a$ がヴィテルボのシンプレクティック平均化と一致することを示し、平均化をより広い代数的・幾何的枠組みに埋め込むこと。
• これらの構成を用いて、断片化ノルムの境界、ポアンカール・ブラケットの制限、シンプレクティック剛性といった既知の結果に対する新たな明快な証明を導出すること。
• スペクトル不変量に対する鋭い三角不等式と、ラグランジュ的およびハミルトニアン的不変量を結ぶ積公式を証明し、これにより $\mu_a$ および $\zeta_a$ の消失性を示すこと。

提案手法

• 部分準同型 $\mu_a$ の構成は、ラグランジュ・フローホモロジーからのスペクトル不変量に、$a \in H^1(N;\mathbb{R})$ のコホモロジー類を用いて平均化を施すことにより行われる。
• $\zeta_a$ は、群 $\mathcal{G}$ から $T^*N$ 上のコンパクトに台を持つ滑らかな関数の空間への指数写像を介して $\mu_a$ を引き戻することで得られる。
• スペクトル不変量に対して鋭い三角不等式を証明し、これがハミルトニアン群 $\mathcal{G}$ への降下を保証する。
• ラグランジュ的およびハミルトニアン的フローホモロジーからのスペクトル不変量を結ぶ積公式を確立し、$\mu_a$ および $\zeta_a$ の消失性を示す上で不可欠である。
• 完全なフローを持つハミルトニアンへの近似を実現するため、関数 $f_\varepsilon(t) = \varepsilon f(t/\varepsilon)$ を用いたカットオフ手続きを用いる。これによりスペクトルノルムへの収束が得られる。
• シンプレクティック剛性の証明は、$\zeta_a$ の $C^0$ 連続性と、超重い集合に台を持つ関数を台が互いに分離する成分に分解することに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉連結多様体 $N$ に対して、部分準同型および準状態を $\mathbb{T}^n$ から任意の余接 bundle $T^*N$ にどのように一般化できるか。
• RQ2 構成された $\mu_a$ および $\zeta_a$ と、$T^*\mathbb{T}^n$ 上のヴィテルボのシンプレクティック平均化作用素との間の正確な関係は何か。
• RQ3 ラグランジュ・フローホモロジーからのスペクトル不変量を用いて、望ましい代数的・幾何的性質を持つ $\mu_a$ および $\zeta_a$ を構成・特徴づけることは可能か。
• RQ4 これらの関数は、断片化ノルムの境界やポアンカール・ブラケット不等式といったシンプレクティックトポロジーにおける既知の結果に対して、新たな証明や簡略化された証明をどれほど提供するか。
• RQ5 ラグランジュ的およびハミルトニアン的スペクトル不変量の間の積公式が、$\mu_a$ および $\zeta_a$ の消失性を示す上で果たす役割は何か。

主な発見

• ハミルトニアン群 $\mathcal{G}$ 上の関数族 $\mu_a$ は、鋭い三角不等式および群構造と整合する性質を満たし、部分準同型に類似した性質を持つ。
• コンパクトに台を持つ滑らかな関数の空間 $C^\infty_c(T^*N)$ 上の関数族 $\zeta_a$ は、$C^0$ 連続性および超重い集合上で正規化されるという性質を満たし、準状態に類似した性質を持つ。
• $N = \mathbb{T}^n$ のとき、関数 $\mu_a$ はヴィテルボのシンプレクティック平均化作用素と一致し、任意のコンパクトに台を持つハミルトニアン $H$ に対して $\overline{H}(p) = \mu_p(\phi_H^1)$ が成り立つ。
• 構成に用いられるスペクトル不変量は鋭い三角不等式を満たし、これがハミルトニアン群 $\mathcal{G}$ への降下を示す、重要な技術的結果である。
• ラグランジュ的およびハミルトニアン的スペクトル不変量を結ぶ積公式が証明され、これが $\mu_a$ および $\zeta_a$ が非可縮集合に台を持つ関数で消失することを示す上で不可欠である。
• この構成により、マザーのアルファ関数がシンプレクティック不変であるという事実の新たな証明が得られ、スペクトルノルムを用いた断片化ノルムの下界が得られる。