[論文レビュー] Partial resolutions of Hilbert type, Dynkin diagrams, and generalized Kummer varieties

D. Kaledin, Misha Verbitsky|ArXiv.org|Dec 14, 1998

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、アフィン空間上の点のヒルベルトスキームに由来する特異点の部分的解消について検討し、特に線形変換によって作用する有限群が関与する場合を対象とする。本稿では、このようなヒルベルト型部分的解消が滑らかになるのは、群作用が複素反射によって生成される場合に限ることを証明し、これにより、複素トーラスの変形ヒルベルトスキームの部分多様体が、半単純リー代数のワイル群によるトーラスの商と双有理的であることを示している。また、以前の誤った結果を是正するための反例も提示している。

ABSTRACT

We study the partial resolutions of singularities related to Hilbert schemes of points on an affine space. Consider a quotient of a vector space $V$ by an action of a finite group $G$ of linear transforms. Under some additional assumptions, we prove that the partial desingularization of Hilbert type is smooth only if the action of $G$ is generated by complex reflections. This is used to study the subvarieties of a Hilbert scheme of a complex torus. We show that any subvariety of a generic deformation of a Hilbert scheme of a torus is birational to a quotient of another torus by an action of a Weyl group of some semisimple Lie algebra. In Appendix, we produce counterexamples to a false theorem stated in our preprint math.AG/9801038.

研究の動機と目的

• ヒルベルト型特異点の部分的解消が滑らかになる条件を理解すること。
• 複素トーラスの一般化された変形ヒルベルトスキーム内の部分多様体の幾何的構造を分析すること。
• 以前のpreprint（math.AG/9801038）で誤って提示された定理を、明示的な反例を用いて是正すること。
• ディンキン図形の構造を通じて、一般化されたクーマー多様体とトーラスのワイル群による商との間に関係を確立すること。

提案手法

• ベクトル空間の有限群作用による商を分析し、特に点のヒルベルトスキームに注目する。
• 代数幾何学、表現論、複素幾何学の技法を用いて特異点とその解消を研究する。
• 半単純リー代数に由来するワイル群の分類に、ディンキン図形を用いる。
• 複素反射群に関する結果を応用し、部分的解消が滑らかになる条件を特定する。
• 双有理幾何学を用いて、変形ヒルベルトスキーム内の部分多様体とトーラスのワイル群による商との関係を明らかにする。
• 付録で、以前のpreprintに述べられた主張を否定する明示的な反例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトル空間上の有限群作用に関連するヒルベルト型部分的解消が滑らかになる条件は何か？
• RQ2 複素トーラスの変形ヒルベルトスキーム内の部分多様体の幾何的構造は、トーラスのワイル群による商とどのように関係するか？
• RQ3 ディンキン図形は、一般化されたクーマー多様体の特異点とその解消を分類するために果たす役割は何か？
• RQ4 群作用が複素反射によって生成されているという仮定が、解消の滑らかさを保証する理由は何か？
• RQ5 ヒルベルトスキームの文脈において、一般化されたクーマー多様体の正しい幾何的および双有理的性質は何か？

主な発見

• ヒルベルト型部分的解消が滑らかになるのは、有限群作用が複素反射によって生成される場合に限る。
• 任意の複素トーラスのヒルベルトスキームの一般化された変形内の部分多様体は、半単純リー代数のワイル群による別のトーラスの商と双有理的である。
• 一般化されたクーマー多様体の構造は、半単純リー代数のディンキン図形と深く関係している。
• 本稿は、preprint math.AG/9801038に記載された誤った定理に対して反例を提示し、文脈上の重大な誤りを是正している。
• 与えられた幾何的制約のもとで、変形ヒルベルトスキーム内の部分多様体とトーラスのワイル群による商との間には、明確な双有理的対応が確立されている。