[論文レビュー] Partition dimension and strong metric dimension of chain cycle

Talmeez Ur Rehman, Naila Mehreen|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2020

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、偶数または奇数のサイクルを連続して接続して形成されるチェーンサイクルの分割次元および強メトリック次元を決定する。強解消グラフと頂点被覆理論を用いて正確な公式を導出し、強メトリック次元が強解消グラフの頂点被覆数に等しくなることを示し、サイクルの偶奇性およびサイズに応じた閉形式の式が得られる。

ABSTRACT

Let $G$ be a connected graph with vertex set $V(G)$ and edge set $E(G)$. For an ordered $k$-partition $Π=\{Q_1,\ldots,Q_k\}$ of $V(G)$, the representation of a vertex $v \in V(G)$ with respect to $Π$ is the $k$-vectors $r(v|Π)=(d(v,Q_1),\ldots,d(v,Q_k))$, where $d(v,Q_i)$ is the distance between $v$ and $Q_i$. The partition $Π$ is a resolving partition if $r(u|Π) eq r(v|Π)$, for each pair of distinct vertices $u,v \in V(G)$. The minimum $k$ for which there is a resolving $k$-partition of $V(G)$ is the partition dimension of $G$. A vertex $w\in V(G)$ strongly resolves two distinct vertices $u,v \in V(G)$ if $u$ belongs to a shortest $v-w$ path or $v$ belongs to a shortest $u-w$ path. An ordered set $W=\{w_{1},\ldots, w_{t}\}\subseteq V(G)$ is a strong resolving set for $G$ if for every two distinct vertices $u$ and $v$ of $G$ there exists a vertex $w\in W$ which strongly resolves $u$ and $v$. A strong metric basis of $G$ is a strong resolving set of minimal cardinality. The cardinality of a strong metric basis is called strong metric dimension of $G$. In this paper, we determine the partition dimension and strong metric dimension of a chain cycle constructed by even cycles and a chain cycle constructed by odd cycles.

研究の動機と目的

• 偶数または奇数のサイクルから構成されるチェーンサイクルの分割次元を特定すること。
• 連続的に接続されたサイクルによって形成されるチェーンサイクルの強メトリック次元を計算すること。
• サイクルの偶奇性およびサイズに基づいて、強メトリック次元の正確な公式を確立すること。
• 強解消グラフと頂点被覆の同値性を応用して、結果を導出すること。

提案手法

• 連続するサイクル間の頂点を同一視することでチェーンサイクルを構築する。
• 頂点が最短経路上に位置する場合に互いに最大距離に達するものとして、チェーンサイクルの強解消グラフを定義する。
• 定理1.1を適用し、強メトリック次元を強解消グラフの頂点被覆数に等しくする。
• 各サイクルに形成される経路を分析することで、強解消グラフにおける最小頂点被覆を同定する。
• 長さ n−1 または n−2 の経路に対する最適な頂点被覆サイズを計算するために、床関数と天井関数を用いる。
• サイクルの種別（偶数／奇数）およびチェーン内での位置に応じた、強メトリック次元の閉形式表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数サイクルからなるチェーンサイクルの分割次元は何か？
• RQ2 奇数サイクルからなるチェーンサイクルの分割次元は何か？
• RQ3 チェーンサイクルの強メトリック次元は、その構成サイクルの偶奇性およびサイズにどのように依存するか？
• RQ4 このようなチェーンサイクルにおいて、強メトリック次元は強解消グラフの頂点被覆数から計算可能か？
• RQ5 サイズが5以上である m 個の奇数サイクルからなるチェーンサイクルの強メトリック次元の正確な公式は何か？

主な発見

• サイズ n_i ≥ 5 の m 個の奇数サイクルからなるチェーンサイクルの強メトリック次元は、m−1 + ⌊n₁/2⌋ + ⌊nₘ/2⌋ + Σᵢ₌₂^{m−1} ⌊(nᵢ−2)/2⌋ に等しい。
• 偶数サイクルから構成されるチェーンサイクルの分割次元は、解消分割を用いて特定されるが、要約では正確な値は明示的に計算されていない。
• 奇数サイクルからなるチェーンサイクルの強メトリック次元は、定理1.1により、その強解消グラフの頂点被覆数に等しい。
• 奇数サイクルの場合、強解消グラフには両端のサイクルで長さ n−1 の経路と、中間のサイクルで長さ n−2 の経路が含まれ、それぞれの被覆に ⌊(n−1)/2⌋ および ⌊(n−2)/2⌋ 個の頂点が必要となる。
• 強解消グラフにおける最小頂点被覆は、各サイクルから特定の頂点（v¹₁ および vⁱ₂（i=2 から m−1 まで））を選び、経路上で適切に間隔を空けて選択することで構成される。
• 導出された公式により、強メトリック次元がサイクル数に対して線形に増加し、サイクルサイズに対しては偶奇に応じて非線形に増加することが確認される。