[論文レビュー] Partition distances

Giovanni Rossi|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2011

Digital Image Processing Techniques参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、部分集合から分割へのハミング距離の一般化として、原子が両方の分割よりも細かいか、どちらか一方のみの分割である場合に数える指標-ハミング（IH）距離を導入する。このIH距離は、分割のラティスの中間的レベルにおいて、既存の測度と比べて顕著に大きな範囲を示し、最も細かく正確であることが示された。

ABSTRACT

Alternative novel measures of the distance between any two partitions of a n-set are proposed and compared, together with a main existing one, namely 'partition-distance' D(.,.). The comparison achieves by checking their restriction to modular elements of the partition lattice, as well as in terms of suitable classifiers. Two of the new measures obtain through the size, a function mapping every partition into the number of atoms finer than that partition. One of these size-based distances extends to geometric lattices the traditional Hamming distance between subsets, when these latter are regarded as hypercube vertexes or binary n-vectors. After carefully framing the environment, a main comparison finally results from the following bounding problem: for every value k, with 0

研究の動機と目的

• 分割ラティスの構造的関係を保ちつつ、組合せ論的根拠に基づいた新たな分割間距離測度を開発すること。これは、ハミング距離が部分集合関係を保つのと同様のものである。
• 提案された測度、特に指標-ハミング（IH）距離を、従来の分割距離測度（伝統的な分割距離 $D(P,Q)$ やランクベース/サイズベースの距離）と比較すること。
• モジュラ要素や代表的な分割ペアにおける挙動を分析することで、各距離測度の範囲と挙動を評価し、精度と粒度を評価すること。
• 固定された $D(P,Q) = k$ におけるIH距離の理論的上限と下限を導出し、分割間の微細な差に高い感度を示すことを示すこと。
• IH距離を、サブセットラティスにおけるハミング距離の忠実なアナログとして位置づけ、原子とサイズ関数を用いて幾何ラティスの整合性を達成すること。

提案手法

• 指標-ハミング（IH）距離を $\delta^{IH}(P,Q) = \sum_{B \in \mathcal{P}^N_1} \left| \{i \in B \mid \text{exactly one of } P,Q \text{ contains } i \} \right|$ として定義し、両方の分割よりも細かい原子を正確に一つの分割にのみ含む場合に数える。
• サイズ関数 $s(P)$ を、$P$ より細かい原子の数として定義し、$P$ のジョイン表現における原子の最大数を用いて、ランクベース距離に類似したサイズベース距離を構築する。
• ブロックと原子の間の二部グラフ $G_m$ を用いたグリーディ構成によりIH距離を特徴づけ、重み関数 $w_{m+1}$ を用いて、ブロックサイズと辺数に基づく二項係数による重みを割り当てる。
• 分割距離 $D(P,Q) = k$ を固定したときの $\delta^{IH}(P,Q)$ の下限と上限を、$G_0, \dots, G_k$ の二部グラフの系列について最適化することで導出する。
• 比較分析のため、すべての距離測度を $[0,1]$ に正規化し、$\hat{\delta}(P,Q) = 1 - \frac{1}{1 + \delta(P,Q)}$ を用いて相対的な精度と範囲を評価する。
• 補完ラティスの文脈で分類器を適用し、モジュラ要素における距離の挙動を評価し、分割差の区別に適しているかどうかを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分集合間のハミング距離を、対称差とラティス順序構造を保ちつつ、分割ラティスへと忠実に一般化する方法は何か？
• RQ2 固定された分割距離 $D(P,Q) = k$ を持つすべての分割ペアに対して、指標-ハミング距離 $\delta^{IH}(P,Q)$ の範囲は何か？
• RQ3 ハッセ図の中間的レベルにおいて、IH距離は他の分割距離測度と比べて、粒度と感度の点でどのように優れているか？
• RQ4 ランクベースおよびサイズベースの距離は、複数の補元を持つ非モジュラ分割をどれほど区別できないか？
• RQ5 $n \geq 3$ の場合、$\binom{n}{2}$次元のバイナリーベクトルとして分割を表現することで、スカラープロダクトによるIH距離の高速計算が可能になるか？

主な発見

• 指標-ハミング（IH）距離は、すべての検討された距離測度の中で最大の範囲を示し、$n \geq 3$ の場合、最大で $\binom{n}{2} - 1$ に達する。これは他の測度と顕著に大きい。
• すべての固定された $k = D(P,Q)$ に対して、IH距離 $\delta^{IH}(P,Q)$ は厳密に有界な最小値と最大値を達成し、これらはブロックと原子の上での二部グラフに対するグリーディアルゴリズムにより導出される。
• サイズ関数 $s(P)$ は、$P$ より細かい原子の数として定義され、厳密に単調かつ超モジュラーである。これはサイズベース距離測度の強固な基盤を提供する。
• IH距離は、幾何ラティスにおける線形従属を完全に活用し、原子レベルでの差を数えるため、ランクまたはサイズベースの測度とは異なり、最も細かく正確であることが示された。
• 正規化されたIH距離 $\hat{\delta}^{IH}$ は、$[0,1]$ 内の像 $R(\hat{\delta}^{IH})$ が最大であり、これは異なる分割ペアを区別する能力に優れていることを示している。
• 分割が $\binom{n}{2}$次元のバイナリーベクトルとして表現される場合、IH距離はスカラープロダクト $\delta^{IH}(P,Q) = \langle I_P, I_Q \rangle$ として効率的に計算可能であり、高速計算が可能である。