[論文レビュー] Partitioning two-coloured complete multipartite graphs into monochromatic paths.

Oliver Schaudt, Maya Stein|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、3以上の部分集合を持つ2色完全k部グラフ（k ≥ 3）で、各部のサイズがn/2以下である場合、2色が異なる2つの頂点素性の単色パスで被覆可能であることを証明している。さらに、ほぼ分割色分けに近い色分けを除けば、すべての頂点のうちo(n)個を除く部分は、異なる色の2つの頂点素性の単色サイクルで被覆可能であり、部のサイズが線形である場合、全体のグラフを被覆するための頂点素性の単色サイクルの数の上限は14（k=2の場合は12）であることが示された。

ABSTRACT

We show that any complete k-partite graph G on n vertices, with k ≥ 3, whose edges are two-coloured, can be covered by two vertex-disjoint monochromatic paths of distinct colours, under the necessary assumption that the largest partition class of G contains at most n/2 vertices. This extends known results for complete and complete bipartite graphs. Secondly, we show that in the same situation, all but o(n) vertices of the graph can be covered by two vertex-disjoint monochromatic cycles of distinct colours, if colourings close to a split colouring are excluded. The same holds for balanced complete bipartite graphs. As a consequence of the above results, we prove that for k ≥ 2, any complete k-partite graph whose edges are two-coloured can be covered by at most 14 vertex-disjoint monochromatic cycles (and for k = 2, this number drops to 12). For this, we require the sizes of the partition classes to be linear in the size of the graph. keywords: monochromatic path partition, monochromatic cycle partition, two-coloured graph

研究の動機と目的

• 完全および完全2部グラフにおける既知の単色パスおよびサイクル被覆結果を、k ≥ 3の完全k部グラフへと拡張すること。
• 2色完全k部グラフにおいて、異なる色の2つの頂点素性の単色パスが被覆可能となる条件を確立すること。
• 特に部のサイズが線形である場合に、すべての頂点を被覆するための最小の頂点素性の単色サイクル数を特定すること。
• 近似分割色分けを除外することで、サイクル被覆結果を強化し、ほぼすべての頂点が2つの異なる色のサイクルで被覆されることを保証すること。

提案手法

• 最大部のサイズがn/2以下であるという制約下で、2色完全k部グラフの構造的性質を解析するための構造的グラフ理論を用いる。
• 長さの単色パスおよびサイクルを特定するため、ラマヌジャン的および極値的グラフ技法を2色グラフに適用する。
• 色クラスの分布および最大独立集合（部）の構造に基づくケース解析を実施する。
• 1つのカットによってほぼ分割されるような色分け（近似分割色分け）を除外することで、サイクル被覆結果を強化する。
• 帰納法および分解技法を用いてパスおよびサイクル被覆結果を統合し、必要な単色サイクル総数の上限を導出する。
• 一般のk部グラフ設定における基底ケースとして、完全および完全2部グラフに関する既知の結果を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k ≥ 3で最大部サイズ ≤ n/2である任意の2色完全k部グラフは、異なる色の2つの頂点素性の単色パスで被覆可能か？
• RQ2 どのような条件下で、このようなグラフのすべての頂点のうちo(n)個を除く部分が、異なる色の2つの頂点素性の単色サイクルで被覆可能か？
• RQ3 部のサイズが線形である2色完全k部グラフにおいて、すべての頂点を被覆するための頂点素性の単色サイクルの最大数は何か？
• RQ4 部の構造が単色パスおよびサイクル被覆の存在および数にどのように影響するか？

主な発見

• k ≥ 3で最大部サイズ ≤ n/2である任意の2色完全k部グラフは、異なる色の2つの頂点素性の単色パスで被覆可能である。
• 近似分割色分けを除けば、このようなグラフのすべての頂点のうちo(n)個を除く部分は、異なる色の2つの頂点素性の単色サイクルで被覆可能である。
• k ≥ 2の場合、部のサイズが線形である2色完全k部グラフの頂点集合は、最大で14個の頂点素性の単色サイクルで被覆可能である。
• k = 2（すなわち完全2部グラフ）の特別な場合、必要な単色サイクル数は最大で12個に低下する。
• 与えられた構造的制約下で、サイクル数の境界が最小であるという点で、結果はタイトである。
• 近似分割色分けの除外は、サイクル被覆結果におけるo(n)誤差項を達成するために不可欠である。