[論文レビュー] Paths with singularities in functional integrals of quantum field theory

V. V. Belokurov, E. T. Shavgulidze|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2011

advanced mathematical theories参考文献 3被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、1次元 $φ^4$ 量子場理論において、自由場理論における連続関数上の関数的積分が、相互作用場理論における不連続で特異な関数上の関数的積分に等価であることを示している。主な結果は、正規化を保つために、相互作用理論の測度に特異経路を含める必要があることである。これは、量子場理論の経路積分が選択された関数空間にきわめて依存していることを明らかにしている。

ABSTRACT

In the toy model ($ ϕ^{4}$-interacting quantum field theory in one-dimensional "Euclidean" space-time) we prove that the functional integrals of the free field theory evaluated over the space of continuous functions are equal to the functional integrals of the interacting field theory evaluated over a set of spaces containing the spaces of discontinuous functions.

研究の動機と目的

• 関数空間の選択が量子場理論における経路積分に与える影響を調査すること。
• 不連続および特異関数が、相互作用場理論における正規化を維持するために果たす役割を明確にすること。
• 連続関数上の標準的ウィーナー測度が、相互作用理論に対して不十分であることを示すこと。
• $(t - t_j^*)^{-1}$ 型の特異性を持つ特異経路が、$φ^4$ モデルにおける一貫性のある関数的積分を実現するために必要不可欠であることを示すこと。
• 変換によって $χ(t)$ と $φ(t)$ の間の一対一対応を確立すること。この変換は、後者に特異性を導入する。

提案手法

• 自由場理論と相互作用場理論を結ぶ変換 $\chi(t) = \varphi(t) + \int_0^t \varphi^2(\tau) d\tau$ を用いる。
• 伊藤の計算を適用して、変換による作用の変化を表現し、$\varphi^3(1) - \varphi^3(0)$ および $\int \varphi(t) dt$ を含む補正項を同定する。
• 差関数 $\mu(t) = \chi(t) - \varphi(t)$ についての微分方程式 $\dot{\mu}(t) = (\mu(t) - \chi(t))^2$ を導出し、特異性の出現を示す。
• 特異点近傍での $\varphi(t)$ の振る舞いを、$\mu(t)$ を逆数 $\nu(t) = 1/\mu(t)$ に変換することで解析し、$t_j^*$ 近傍で $\varphi(t) \sim (t - t_j^*)^{-1}$ となることを明らかにする。
• 関数空間 $X = \bigcup_{n=0}^\infty X_n$ を定義する。ここで $X_0 = C[0,1]$ であり、$X_n$ は $(t - t_j^*)^{-1}$ 形式の $n$ 個の特異性を持つ関数を含む。
• 標準的ウィーナー測度 $\exp(-\frac{1}{2}\int \dot{\varphi}^2 dt)$ は $n \geq 1$ の $X_n$ 上で有効な測度ではないが、$\varphi^4$ 項および補正項を含む完全な相互作用作用は有効であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的関数と不連続的関数の関数空間の選択が、自由場理論と相互作用場理論の経路積分の等価性にどのように影響するか？
• RQ2 変換 $\chi(t)$ に移行した際に、関数的積分が正規化されたままであるためには、場 $\varphi(t)$ がどのような特異的振る舞いを示す必要があるか？
• RQ3 標準的ウィーナー測度が、相互作用理論における特異経路を含む空間上でなぜ有効でないのか？
• RQ4 場 $\varphi$ に特異性がある場合に、変換 $\chi(t) = \varphi(t) + \int_0^t \varphi^k(\tau) d\tau$ が $\chi$ と $\varphi$ の間の一対一対応を定義できるか？
• RQ5 正規化を保つために、相互作用経路積分を定義する関数空間 $X$ の構造はどのようなものか？

主な発見

• 自由場の関数的積分は $C[0,1]$ 上で評価され、相互作用理論の関数的積分は、不連続で特異な関数を含むより大きな空間 $X$ 上で評価される。
• 空間 $X$ は $X = X_0 \cup X_1 \cup \cdots$ に分解され、$X_n$ は $\varphi(t) \sim (t - t_j^*)^{-1}$ 形式の $n$ 個の特異性を持つ関数からなる。
• 標準的ウィーナー測度 $\exp(-\frac{1}{2}\int \dot{\varphi}^2 dt)\, d\varphi$ は $n \geq 1$ の $X_n$ 上で有効な測度ではないが、$\varphi^4$ 項および補正項を含む完全な相互作用作用は有効である。
• 正規化条件 $\int_{C[0,1]} \exp(-\frac{1}{2}\int \dot{\chi}^2 dt)\, d\chi = 1$ は、特異経路の含みがある $X$ 上での積分によってのみ維持される。$C[0,1]$ 上での積分では成立しない。
• 変換 $\chi(t) = \varphi(t) + \int_0^t \varphi^2(\tau) d\tau$ は、$\varphi(t)$ に孤立した点 $t_j^*$ で特異性を誘発し、$\varphi(t) \sim (t - t_j^*)^{-1}$ となる。
• $k > 2$ の場合、変換 $\chi(t) = \varphi(t) + \int_0^t \varphi^k(\tau) d\tau$ は一対一対応を生じないため、写像に特異性を持つ二次非線形性が果たす特別な役割が示唆される。