[論文レビュー] Pattern-Avoiding (0,1)-Matrices

Richard A. Brualdi, Lei Cao|arXiv (Cornell University)|May 1, 2020

graph theory and CDMA systems参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、パターン回避の一般化として(0,1)-行列を検討し、123および312パターンを回避するものに焦点を当てる。n×nの(0,1)-行列において、これらのパターンを回避する1の最大数を正確に特定し、すべてのこのような行列を生成する構成的アルゴリズムを提供するとともに、置換行列の包含関係および総支持条件を用いてその構造的・組合せ的性質を特徴づける。

ABSTRACT

We investigate pattern-avoiding (0,1)-matrices as generalizations of pattern-avoiding permutations. Our emphasis is on 123-avoiding and 321-avoiding patterns for which we obtain exact results as to the maximum number of 1's such matrices can have. We also give algorithms when carried out in all possible ways, construct all of the pattern-avoiding matrices of these two types.

研究の動機と目的

• 123および312パターンを回避する置換から(0,1)-行列へのパターン回避の一般化を図ること。
• 123または312パターンを回避するn×nの(0,1)-行列に含まれる1の最大数を特定すること。
• すべてのこのようなパターン回避行列を生成する構成的アルゴリズムを開発すること。
• 総支持および完全非分解性の条件を用いて、これらの行列の構造を特徴づけること。
• パターン回避のパーマネントと組合せ行列理論との関係を探索すること。

提案手法

• 置換行列がすべて123パターンを回避する(0,1)-行列を123置換回避と定義する。
• 同様に、312パターンを回避する置換行列の包含関係に基づいて312置換回避を定義する。
• すべての1が行列内での有効な置換行列に含まれるよう保証するため、総支持の概念を用いる。
• 有効な行および列の配置を探索することで、123および312置換回避行列を体系的に生成するアルゴリズムを構築する。
• 3要素パターンに対する既知の置換パターン回避の結果（Catalan数による列挙）を活用する。
• すべての1の行列J_nを逆グラスマン多項式置換行列に分解するような行列分解技術を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 総支持を持つn×nの123置換回避(0,1)-行列において、1の最大数は何か？
• RQ2 総支持を持つn×nの312置換回避(0,1)-行列において、1の最大数は何か？
• RQ3 123および312置換回避(0,1)-行列は、アルゴリズム的手法によって体系的にすべて生成可能か？
• RQ4 完全非分解性を持つ(0,1)-行列において、123または312置換回避の下でパーマネントの最大値は何か？
• RQ5 {1,…,n}の部分集合上でσ-回避部分置換が、完全なσ-回避置換に拡張可能となる条件は何か？

主な発見

• 総支持を持つn×nの123置換回避(0,1)-行列における1の最大数は、正確に2n−1である。
• 総支持を持つn×nの312置換回避(0,1)-行列における1の最大数も、正確に2n−1である。
• 有効な行構成を再帰的に構築することで、すべての123置換回避(0,1)-行列を生成する明示的アルゴリズムが提示された。
• 同様の再帰的行構成法を用いて、すべての312置換回避(0,1)-行列を生成する明示的アルゴリズムが提示された。
• n=5の場合に示された特定のブロック構造（パーマネントが12）を持つ行列は、最大の312回避パーマネントを達成すると予想される。
• 123または312回避の下で、すべての1の行列J_nのパーマネントはCatalan数C_n = (2n choose n)/(n+1)に等しい。