[論文レビュー] Pattern formation in a generalized Keller-Segel model

Patrick De Leenheer, Jay Gopalakrishnan+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2011

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 8被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、任意の反応を伴う複数の化学種を含む Keller-Segel モデルを一般化し、そのうちの1種がキモアトラクトアントとして機能するようにしている。無限次元の固有値問題を行列理論的手法を用いて有限次元の問題に還元することで、特に強いキモタクシス的フィードバックが均一状態を不安定化させる、検証可能な条件を導出している。これにより、従来知られていた範囲をはるかに超える広範なモデルクラスにおいてパターン形成が可能になる。

ABSTRACT

We present a generalized Keller-Segel model where an arbitrary number of chemical compounds react, some of which are produced by a species, and one of which is a chemoattractant for the species. To investigate the stability of homogeneous stationary states of this generalized model, we consider the eigenvalues of a linearized system. We are able to reduce this infinite dimensional eigenproblem to a parametrized finite dimensional eigenproblem. By matrix theoretic tools, we then provide easily verifiable sufficient conditions for destabilizing the homogeneous stationary states. In particular, one of the sufficient conditions is that the chemotactic feedback is sufficiently strong. Although this mechanism was already known to exist in the original Keller-Segel model, here we show that it is more generally applicable by significantly enlarging the class of models exhibiting this instability phenomenon which may lead to pattern formation.

研究の動機と目的

• 古典的な Keller-Segel モデルを、複雑な反応ネットワークを有する任意の数の化学種を含むものに拡張すること。
• この一般化された系における均一定常状態の安定性を分析すること。
• 線形化によって生じる無限次元固有値問題を、有限次元のパrameter依存問題に還元すること。
• パターン形成に至る不安定性を示す、容易に検証可能な十分条件を導出すること。
• 強いキモタクシス的フィードバックが、元のモデルを越えてパターン形成を引き起こす一般的メカニズムであることを示すこと。

提案手法

• キモアトラクトアントを生成する種が含まれる複数化学種を含む一般化 Keller-Segel モデルを定式化すること。
• 微小な摂動を調べるため、均一定常状態のまわりで系を線形化すること。
• 行列理論的手法を用いて、得られた無限次元固有値問題を有限次元の問題に還元すること。
• 行列解析のツールを適用し、系のパrameterに基づく不安定性の十分条件を導出すること。
• キモタクシス的フィードバックの強さが、均一状態を不安定化させる上で中心的な役割を果たすことを特定すること。
• パrameter依存固有値解析を用いて、広範な反応ネットワーククラスにおける安定性を評価すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の化学種を含む一般化 Keller-Segel モデルにおいて、その均一定常状態が不安定化する条件は何か？
• RQ2 このようなモデルにおける無限次元固有値問題は、実用的な解析のために有限次元の問題に還元可能か？
• RQ3 特にキモタクシス的フィードバックの強さを含め、パターン形成を誘発する具体的な系のパrameterは何か？
• RQ4 任意の反応ネットワークの組み込みが、空間的パターンの出現にどのように影響するか？
• RQ5 キモタクシス的フィードバックメカニズムは、このクラスのモデルにおいて、普遍的な不安定化駆動要因と見なせるか、その程度はいかほどか？

主な発見

• 行列理論的手法を用いて、安定性解析のための無限次元固有値問題が、有限次元のパrameter依存固有値問題に成功裏に還元された。
• 均一状態の不安定化を示す十分条件が導出され、系のパrameterから容易に検証可能であることが示された。
• 強いキモタクシス的フィードバックが、均一状態を不安定化させ、パターン形成を引き起こす主要なメカニズムであると特定された。
• 不安定化メカニズムが、元の Keller-Segel システムよりもはるかに広範なモデルクラスにわたり、安定であることが示された。
• キモタクシスによるパターン形成が、古典的な二種類の種に限らず、複雑な多成分反応ネットワークへと拡張可能であることが実証された。