[論文レビュー] Patterson-Sullivan distributions for symmetric spaces of the noncompact type

Michael Schroeder|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 37被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Zelditchの双曲的表面における非ユークリッド擬微分計算を、非コンパクト型の対称空間へ一般化し、パターソン＝サリバン分布とウィグナー分布の間の明示的な相互作用作用素を確立する。これらの分布が群作用に関して不変および等変であることを証明し、固有値が無限大に近づく際の漸近的挙動を特徴づけ、量子エルゴディシティ理論を高ランクの非コンパクト型対称空間へ拡張する。

ABSTRACT

We generalize parts of a special non-Euclidean calculus of pseudodifferential operators, which was invented by S. Zelditch for hyperbolic surfaces, to symmetric spaces $X=G/K$ of the noncompact type and their compact quotients $Y=Γ\backslash G/K$. We sometimes restrict our results to the case of rank one symmetric spcaes. The non-Euclidean setting extends the defintion of so-called Patterson-Sullivan distributions, which were first defined by N. Anantharaman and S. Zelditch for hyperbolic systems, in a natural way to arbitrary symmetric spaces of the noncompact type. We find an explicit intertwining operator mapping Patterson-Sullivan distributions into Wigner distributions. We study the important invariance and equivariance properties of these distributions. Finally, we describe asymptotic properties of these distributions.

研究の動機と目的

• Zelditchの非ユークリッド擬微分計算をランク1の双曲的表面から、非コンパクト型の対称空間へ一般化すること。
• ヘルガソンの緩和固有関数の境界値を用いて、対称空間上でのパターソン＝サリバン分布を定義すること。
• パターソン＝サリバン分布からウィグナー分布への明示的な相互作用作用素を確立すること。
• これらの分布が群作用に関して不変および等変である性質を調べること。
• これらの分布の高エネルギー極限における漸近的挙動を分析すること。

提案手法

• 非ユークリッドフーリエ変換 $Ff(\lambda, b) = \int_X f(x) e^{(-i\lambda + \rho)\langle x,b\rangle} dx$ を用いた、対称空間 $X = G/K$ 上の非ユークリッドフーリエ解析を適応する。
• 非ユークリッドフーリエ変換のプランシュレの定理および逆変換公式を用いて、$L^2(X)$ と $L^2(\mathfrak{a}_+^* \times B, |c(\lambda)|^{-2} d\lambda db)$ 間の $L^2$-等長写像を定義する。
• コンパクト商 $Y = \Gamma \backslash G/K$ に対して、$\Gamma$-不変な擬微分作用素の量子化 $Op: C^\infty(S^*Y) \to B(L^2(Y))$ を導入する。
• 固有関数と作用素から、ウィグナー分布 $W_{\lambda_j,\lambda_k}(a) = \langle Op(a)\varphi_{\lambda_j}, \varphi_{\lambda_k} \rangle_{L^2(Y)}$ を構成する。
• ヘルガソン理論を用いて、固有関数の境界値としてパターソン＝サリバン分布 $PS_{\varphi,\psi}$ を定義する。
• パターソン＝サリバン分布 $PS_{\varphi,\psi}$ からウィグナー分布 $W_{\lambda_j,\lambda_k}$ への明示的な相互作用作用素を確立し、ZelditchおよびAnantharamanの正確な公式を高ランクの対称空間へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Zelditchの非ユークリッド擬微分計算をランク1の双曲的表面から、非コンパクト型の対称空間へどのように一般化できるか。
• RQ2 非コンパクト型対称空間におけるパターソン＝サリバン分布とウィグナー分布の正確な関係は何か。
• RQ3 パターソン＝サリバン分布およびウィグナー分布は、群 $G$ の作用に関してどのように変化するか。
• RQ4 固有値が無限大に近づく極限におけるこれらの分布の漸近的挙動は何か。
• RQ5 これらの分布の不変性および等変性の性質は、非ユークリッド計算においてどのように保たれるか。

主な発見

• この論文は、パターソン＝サリバン分布 $PS_{\varphi,\psi}$ をウィグナー分布 $W_{\lambda_j,\lambda_k}$ へ写像する明示的な相互作用作用素を構成し、ZelditchおよびAnantharamanの結果を高ランクの対称空間へ一般化する。
• ウィグナー分布が、記号 $a$ が $\Gamma$-不変であるとき、離散群 $\Gamma$ の作用に関して不変であることが示され、計算の構造が保たれる。
• パターソン＝サリバン分布が、群 $G$ の作用に関して等変であることが証明され、それらの対称空間の対称性が反映される。
• これらの分布の漸近的挙動が、高エネルギー極限において特徴づけられ、量子エルゴディシティの結果が非コンパクト対称空間へ拡張される。
• 非ユークリッドフーリエ変換は、$\mathfrak{a}_+^* \times B$ 上でのプランシュレの定理および逆変換公式を用いて、これらの分布の定義と解析のフレームワークを提供する。
• 一部の状況ではランク1の対称空間に制限されるが、フレームワークは高ランクの空間へ適用可能な十分な一般性を持つ。