[論文レビュー] PDE System Approach to Large Extra Dimensions

Edward Anderson, Reza Tavakol|ArXiv.org|Sep 12, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、大規模な追加次元モデルにおけるバルク時空の構築のためのPDE系フレームワークを提案し、時空的（3,1;1）と空間的（4,0;–1）な超曲面分割を比較する。空間的分割が数学的および物理的により良好に振る舞うと主張し、York法が時空的状況に一般化可能であり、厚みのあるブレインが厳密な構築を可能にする可能性があると示している。その結果、特異点やブレインワールド力学に影響を与える。

ABSTRACT

We explore some fundational issues regarding the splitting of D-dimensional EFE's w.r.t timelike and spacelike (D-1)-dimensional hypersurfaces, first without and then with thin matter sheets such as branes. We begin to implement methodology, that is well-established for the GR CP and IVP, in the new field of GR-based braneworlds, identifying and comparing many different choices of procedure. We abridge fragmentary parts of the literature of embeddings, putting the Campbell--Magaard theorem into context. We recollect and refine arguments why York and not elimination methods are used for the GR IVP. We compile a list of numerous mathematical and physical impasses to using timelike splits, whereas spacelike splits are known to be well-behaved. We however pursue both options to make contact with the current braneworld literature which is almost entirely based on timelike splits. We look at the Shiromizu-Maeda -Sasaki braneworld by means of reformulations which emphasize different aspects from the original formulation. We show that what remains of the York method in the timelike case generalizes heuristic bulk construction schemes. We formulate timelike (brane) versions of the thin sandwich conjecture. We discuss whether it is plausible to remove singularities by timelike embeddings. We point out how the braneworld geodesic postulates lead to further difficulties with the notion of singularities than in GR where these postulates are simpler. Having argued for the use of the spacelike split, we study how to progress to the construction of more general data sets for spaces partially bounded by branes. Boundary conditions are found and algorithms provided. Working with (finitely) thick branes would appear to facilitate such a study.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論に基づき、大規模な追加次元モデルにおけるバルク時空の構築のための一貫性があり一般的なフレームワークを確立すること。
• ブレインワールド状況における時空的（3,1;1）および空間的（4,0;–1）な超曲面分割の数学的および物理的妥当性を比較すること。
• York法およびGauss–Codazzi方程式がブレインワールドにおける初期データ定式化に果たす役割を明確にすること。
• 時空的埋め込みによる特異点の除去可能性と、ブレインワールドの測地線仮説が及える影響を評価すること。
• より厳密で安定したブレインワールドデータセットの構築を可能にするために、(4,0;–1)スキームおよび厚みのあるブレインの使用を提唱すること。

提案手法

• 一般相対性理論におけるCauchy問題および初期値問題（IVP）形式を、任意の符号および次元に拡張した一般化されたPDE系アプローチを採用する。
• (r,s;ε)表記を用いて時空分割を分類：ε=1は空間的、ε=–1は時空的であり、(3,1;1)および(4,0;–1)スキームの体系的比較を可能にする。
• Shiromizu–Maeda–Sasaki（SMS）ブレインワールド方程式を再定式化し、Weylテンソルおよび二次エネルギー運動量項に依存する構造を明らかにする。
• York法を時空的分割に適用し、ヒューリスティックなバルク構築スキームの背後にある一貫性のある枠組みを提供し、薄いサンドイッチ予想の時空的版を導出する。
• ブレインで境界づけられた空間的超曲面上でのデータ構築のための境界条件およびアルゴリズムを分析し、厚みのあるブレインが問題を単純化する役割を強調する。
• 特にGauss–Codazzi系を含む、確立された一般相対性理論の文献を活用し、解決策の再発明を避ける。これをブレインワールド文脈に適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ空間的（4,0;–1）な超曲面分割は、ブレインワールドモデルにおいて時空的（3,1;1）分割よりも数学的および物理的に良好に振る舞うのか？
• RQ2 時空的埋め込みによって、ブレインワールド状況における特異点をどの程度除去できるのか？
• RQ3 ブレインワールドの測地線仮説は、標準的一般相対性理論と比較して特異点の取り扱いにどのような影響を与えるか？
• RQ4 薄いブレインではなく厚みのあるブレインを用いることで、ブレインワールドモデルの数学的および物理的一致性にどのような影響があるか？
• RQ5 (4,0;–1)初期値問題フレームワークは、現実的なブレインワールド構成の非自明かつ非時間対称なデータを含めるために拡張可能か？

主な発見

• 初期値問題の一般相対性理論における確立された構造のおかげで、(4,0;–1)空間的分割は、(3,1;1)時空的分割よりも根本的に数学的および因果的に良好に振る舞う。
• York法は時空的状況に一般化可能であり、ヒューリスティックなバルク構築スキームを支える一貫性のある枠組みを提供する。
• SMSブレインワールド方程式は一意に定まらない。Weyl項および二次エネルギー運動量項に関する選択に依存するため、系の切断が危険であることを示唆している。
• 時空的埋め込みは、物理的に意味のある方法で特異点を一般に除去するメカニズムを提供する可能性は低い。
• 厚みのあるブレインはより厳密な数学的取り扱いに適しており、厚さが十分に大きく保たれる限り、物理的本質に変化をもたらさない可能性がある。
• (4,0;–1)スキームは、ブラックホール衝突のような高曲率プロセスの研究に適しており、今後のブレインワールド重力における数値的および解析的研究にとって不可欠であると示唆している。