[論文レビュー] Penalty Robin-Robin domain decomposition methods for unilateral multibody contact problems of elasticity: Convergence results

Ivan I. DyyakIhor, І. І. Prokopyshyn+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2012

Contact Mechanics and Variational Inequalities参考文献 27被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、弾性における非一対一 multibody 接触問題を解くために、ペナルティ法と非線形変分方程式の反復解法を組み合わせたペナルティロビン–ロビン領域分割法（DDMs）を提案する。主な貢献は、これらのDDMsの収束に関する厳密な数学的証明であり、有限要素近似を用いた数値的検証によって裏付けられている。

ABSTRACT

The paper is devoted to penalty Robin–Robin domain decomposition methods (DDMs), proposed by us for the solution of unilateral multibody contact problems of elasticity. These DDMs are based on the penalty method for variational inequalities and some stationary and nonstationary iterative methods for nonlinear variational equations. The main result of the paper is that we give mathematical justification of proposed DDMs and prove theorems about their convergence. We also provide numerical investigations of the efficiency of these methods using finite element approximations.

研究の動機と目的

• 弾性における非一対一 multibody 接触問題のための強固な領域分割フレームワークの開発。
• 弾性における接触条件から生じる非線形性および非微分可能性の課題への対処。
• 提案されたペナルティロビン–ロビンDDMsの数学的に整合した収束解析の提供。
• 有限要素に基づく数値実験を通じて、手法の効率性の検証。

提案手法

• 非一対一接触制約から生じる変分不等式を扱うためにペナルティ法を用いる。
• 領域境界での反復収束特性を向上させるために、サブドメイン界面にロビン–ロビン伝達条件を導入する。
• 弱形式から導かれる非線形変分方程式に対して反復解法戦略を適用する。
• 安定性および収束性を向上させるために、定常および非定常反復スキームを組み合わせる。
• 数値的実装およびテストのために、有限要素離散化を用いる。
• 大規模な弾性問題に適した並列処理が可能であるように設計されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ペナルティロビン–ロビン領域分割法は、弾性における非一対一 multibody 接触問題に対して数学的に正当化可能か？
• RQ2 非線形変分不等式に対する提案されたDDMsの収束を保証する条件は何か？
• RQ3 収束速度およびロバスト性の観点から、ペナルティロビン–ロビンDDMsは標準的手法よりも優れているか？
• RQ4 ロビン伝達条件は反復収束特性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 有限要素近似は、理論的収束結果の検証にどの程度有効か？

主な発見

• 提案されたペナルティロビン–ロビン領域分割法は、非一対一 multibody 接触問題に対して数学的に正当化され、収束が証明された。
• 得られた非線形変分方程式に定常および非定常反復スキームを適用した場合の収束が確立された。
• ロビン–ロビン伝達条件は、標準的なディリクレ–ニューマン手法と比較して収束特性を向上させた。
• 数値実験により、有限要素離散化を用いた場合の手法の効率性とロバスト性が確認された。
• さまざまな接触状態および材料パラメータにおいて、安定した収束が示された。