[論文レビュー] Pencils on Surfaces with Normal Crossings and the Kodaira Dimension of $\overline {\mathcal {M}}_{g,n}$

Daniele Agostini, Ignacio Barros|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、通常交差を持つ曲面上のペンキルの滑らか化に関する基準を構築することで、M12,6、M12,7、M13,4、およびM14,3の非ルールド性を確立し、M12,8およびM16のKodaira次元に対する上界を提示し、それが次元 − 2以下であることを示している。また、Hg,4g+5が非ルールドであることを証明し、負のKodaira次元をもつ点付き双曲線型モジュライ空間の分類を完了している。

ABSTRACT

We study smoothing of pencils of curves on surfaces with normal crossings. As a consequence we show that the canonical divisor of $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ is not pseudo-effective in some range, implying that $\overline{\mathcal{M}}_{12,6},\overline{\mathcal{M}}_{12,7},\overline{\mathcal{M}}_{13,4}$ and $\overline{\mathcal{M}}_{14,3}$ are uniruled. We provide upper bounds for the Kodaira dimension of $\overline{\mathcal{M}}_{12,8}$ and $\overline{\mathcal{M}}_{16}$. We also show that the moduli of $(4g+5)$-pointed hyperelliptic curves $\mathcal{H}_{g,4g+5}$ is uniruled. Together with a recent result of Schwarz, this concludes the Kodaira classification for moduli of pointed hyperelliptic curves.

研究の動機と目的

• Mg,nのKodaira次元を分析するため、通常交差を持つ可約曲面におけるペンキルの滑らか化に関する基準を確立する。
• 有理曲面を成分とする標準的通常交差曲面に適切なペンキルを構成することで、M12,6、M12,7、M13,4、およびM14,3が非ルールドであることを証明する。
• K3曲面におけるペンキルを用いて、M12,nの研究を進める。M12,8のKodaira次元に対する上界を、dim M12,8 − 2として提示する。
• M16のKodaira次元に対する上界を再考・改善し、それがdim M16 − 2以下であることを示す。
• 点付き双曲線型モジュライ空間のうち、Kodaira次元が負であるものの分類を完了するため、Hg,4g+5が非ルールドであることを証明する。

提案手法

• 変形理論と特異なファイバーの解析を用いて、S1 ∪ S2（S1およびS2が有理曲面）からなる通常交差曲面におけるペンキルの滑らか化に関する一般基準を構築する。
• Prにおける標準的通常交差曲面にこの滑らか化基準を適用し、13次および14次曲線におけるペンキルを研究することで、問題を各成分におけるペンキルの理解に還元する。
• M12,nの解析にK3曲面におけるペンキルを用いる。Mukaiの構成を活用し、Mg,n上のタウトロジカルクラスとの交差数を計算する。
• 写像θ: Mg−1,n+2 → Mg,nを用いて、Mg−1,n+2上にネフな曲線類γを構成し、交差理論を用いてKodaira次元の上界を求める。
• 写像θ: M15,2 → M16を用いて、M15,2からM16へのカバー曲線を押し上げ、KM16との交差数を計算し、Kodaira次元の上界を得る。
• [BDPP]の基準を適用する。すなわち、KMg,nが擬効的でないことが、あるネフな曲線類γに対して(γ · KMg,n) < 0を満たす場合に成立する。この基準により非ルールド性を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 通常交差を持つ曲面上のペンキルは滑らかにできるか。その滑らか化を保証する条件は何か。
• RQ2 モジュライ空間上の交差理論を用いて、Mg,nのKodaira次元をどのように上界で抑えられるか。
• RQ3 M12,8およびM16のKodaira次元は何か。また、空間の次元未満に上界を示せるか。
• RQ4 点付き双曲線型曲線のモジュライ空間Hg,4g+5は非ルールドであるか。これにより、負のKodaira次元をもつこのような空間の分類は完了するか。
• RQ5 M12,6、M12,7、M13,4、およびM14,3の非ルールド性は、標準的通常交差曲面におけるペンキルを用いて確立できるか。

主な発見

• M12,6、M12,7、M13,4、およびM14,3は、有理成分をもつ標準的通常交差曲面に適切なペンキルを構成することで非ルールドであることが示された。
• M12,8のKodaira次元は、M11,10上のネフな曲線類をグルーピング写像によって押し上げることで、dim M12,8 − 2以下であることが示された。
• M16のKodaira次元は、dim M16 − 2以下であることが示され、[FV2]で得られたdim M16 − 1の上界を改善した。
• g ≥ 2のとき、Hg,4g+5は非ルールドであることが証明され、負のKodaira次元をもつ点付き双曲線型モジュライ空間の分類が完了した。
• 特定の範囲では、KMg,nが擬効的でないことが示され、[BDPP]の基準により、対応するモジュライ空間が非ルールドであることが結論づけられた。
• 通常交差曲面におけるペンキルの滑らか化基準は一般的であり、曲線のモジュライのさらなる問題への応用が期待される。