[논문 리뷰] Perfectoid covers of abelian varieties

Clifford Blakestad, Damián Gvirtz외 5명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 12.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 15인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 잔여 특성 $p$를 갖는 대수적으로 닫힌 비아르키메데스 체 위의 모든 아벨로이드 다양체 $A$에 대해, $[p]$-승수 타워 $⋯_{[p]}A$의 틸다 극한으로서의 완전oid 공간 $A_{u}$의 존재성을 확립한다. 이 구성은 레이노 데이의 확장을 통해 이루어지며, 토리와 양호한 균질성을 갖는 아벨 다양체의 완전oid 틸다 극한을 이용하고, 완전oid 군에 대한 짧은 정확열 시퀀스 $0 \to T_\infty \to E_\infty \to B_\infty \to 0$를 도출한다. 이는 $A^\diamond$를 $A_\infty / T_pA$의 몫으로서의 균일화를 이끌어내며, 프로-에테일 위상수학을 통해 아벨 다양체와 곡선에 대한 완전oid 보편 코팅을 제공한다.

ABSTRACT

For an abelian variety $A$ over an algebraically closed non-archimedean field of residue characteristic $p$, we show that there exists a perfectoid space which is the tilde-limit of $\varprojlim_{[p]}A$. Our proof also works for the larger class of abeloid varieties.

연구 동기 및 목표

• 비아르키메데스 체 위의 아벨로이드 다양체에 대해, $[p]$-승수 타워 $\varprojlim_{[p]}A$의 틸다 극한으로서의 완전oid 공간 $A_\infty$를 구성하는 것.
• 기존의 양호한 균질성의 아벨 다양체에 대한 결과를 레이노 데이 확장을 통해 일반적인 준안정 균질성의 경우로 확장하는 것.
• 완전oid 군의 구조를 이용하여 다이아몬드 $A^\diamond$를 몫 $A_\infty / T_pA$로써 균일화하는 것.
• 프로-에테일 기본군을 테이트 모듈러스 $TA$로 간주하여, 곡선에서 아벨 다양체로의 보편 프로-에테일 코팅 구성의 일반화를 이루는 것.

제안 방법

• 일반적인 극한이 존재하지 않는 광역 공간의 범주에서 틸다 극한의 허버의 개념을 사용하여 역극한을 정의하는 것.
• 분할 토리 $T = (\mathbb{G}_m^{\text{an}})^d$에 대해 $[p]$-승수 타워를 통해 완전oid 틸다 극한 $T_\infty$를 구성하는 것.
• 광역 분할 확장 $0 \to T \to E \to B \to 0$를 활용하여 $[p]$-타워를 $E$로 올리는 것. 이는 광역 공간 내의 섬유 번들 기법을 사용한다.
• 지역 분할을 $[p]$-타워를 따라 추적하여 $E$의 완전oid 틸다 극한 $E_\infty$를 구성하고, 짧은 정확열 시퀀스 $0 \to T_\infty \to E_\infty \to B_\infty \to 0$를 도출하는 것.
• 군 $M \subset E$를 이용하여 $A = E/M$의 $[p]$-타워를 두 개의 타워로 분해한다: 하나는 $E/M_n$ 위에 있고, 다른 하나는 사영 사상 $v^n: E/M \to E/M_n$를 통해 이루어진다.
• $A'_\infty$를 $E/M_n$의 틸다 극한으로서 구성하고, $0 \to M \to E_\infty \to A'_\infty \to 0$에 들어가며, 에테일 강하를 통해 $A_\infty$를 몫으로서 도출하여 $A_\infty \sim \varprojlim_{[p]}A$를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 잔여 특성 $p$를 갖는 비아르키메데스 체 위의 아벨로이드 다양체에 대해, $[p]$-승수 타워의 완전oid 틸다 극한이 존재하는가?
• RQ2 프로-에테일 위상수학을 통해, 곡선에서 아벨 다양체로의 완전oid 보편 코팅 구성이 확장될 수 있는가?
• RQ3 레이노 데이 확장 $0 \to T \to E \to B \to 0$의 구조는 준안정 균질성의 경우 완전oid 틸다 극한의 구성에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 완전oid 군 $A_\infty$는 테이트 모듈러스 $T_pA$에 대한 몫으로서 정확히 어떤 구조를 갖는가?
• RQ5 완전oid 기하학을 통해 다이아몬드 $A^\diamond$는 몫 $A_\infty / T_pA$로 정확히 균일화될 수 있는가?

주요 결과

• 완전oid 틸다 극한 $A_\infty$는 존재하며, 모든 $K$ 위의 아벨로이드 다양체 $A$에 대해 $A_\infty \sim \varprojlim_{[p]}A$를 만족한다. 이는 이전의 양호한 균질성의 결과를 일반화한다.
• 이 구성은 완전oid 군의 짧은 정확열 시퀀스 $0 \to T_\infty \to E_\infty \to B_\infty \to 0$를 도출하며, 여기서 $T_\infty$는 토리 $T$의 완전oid 극한이다.
• 성별 $g \geq 1$인 곡선 $C$의 보편 코팅 $\tilde{C}$는 완전oid 틸다 극한 $\tilde{C} \sim \varprojlim_H C_H$이며, 열린 부분군 $H \subset \pi_1(C,x)$에 대해 정의되며, 프로-에테일 $\pi_1(C,x)$- torsor이다.
• 아벨 다양체의 경우, 프로-에테일 기본군은 테이트 모듈러스 $TA = \varprojlim_N A[N]$와 동형이며, $A^\diamond$는 균일화 $A^\diamond = A_\infty / T_pA$를 갖는다.
• 틸다 극한 $A_\infty$는 프로유한 완전oid 시퀀스 $0 \to M \to D_\infty \times E_\infty \to A_\infty \to 0$에 들어가며, 여기서 $D_\infty$는 $D_n$의 근원의 틸다 극한이다. 이는 원래의 $0 \to M \to E \to A \to 0$의 완전oid 해석에 해당한다.
• 사상 $\tilde{C} \to C$는 유한-프로-에테일 완전oid 코팅 중에서 보편적이며, 임의의 그러한 코팅 $X \to C$에 대해 $X \cong \underline{F(X)} \times^{\pi_1(C,x)} \tilde{C}$가 성립한다. 이는 범주론적 몫을 통해 이루어진다.