[論文レビュー] Performance guarantees for greedy maximization of non-submodular set functions in systems and control.

Tyler Summers, Maryam Kamgarpour|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2017

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、制御系において現れる非単調集合関数の最適化における貪欲アルゴリズムの性能保証を確立する。特に、可制御性と可観測性グラミアンに関連する問題に対して、単調性比と一般化曲率を境界として導入することで、単調性が成り立たない場合でも近似的に最適な解が得られることを証明する。これにより、貪欲最適化理論がより広範なネットワーク設計問題のクラスへと拡張される。

ABSTRACT

A key problem in emerging complex cyber-physical networks is the design of information and control topologies, including sensor and actuator selection and communication network design. These problems can be posed as combinatorial set function optimization problems to maximize a dynamic performance metric for the network. Some systems and control metrics feature a property called submodularity, which allows simple greedy algorithms to obtain provably near-optimal topology designs. However, many important metrics lack submodularity and therefore lack any guarantees from the existing theory. Here we show that performance guarantees can be obtained for greedy maximization of certain non-submodular functions of the controllability and observability Gramians. We derive from bounds on two key quantities: the submodularity ratio, which quantifies how far a set function is from being submodular, and the generalized curvature, which quantifies how far a set function is from being modular. Numerical experiments illustrate the results.

研究の動機と目的

• サイバーフィジカルネットワークにおける非単調系の性能指標に対する貪欲最適化の理論的保証の欠如に取り組む。
• 単調性が成立しない状況下でも、貪欲アルゴリズムが近似的に最適な解に到達できる条件を同定する。
• 可制御性と可観測性グラミアンを含む制御およびネットワーク設計問題に、貪欲アルゴリズムの適用範囲を拡張する。
• 単調性比と一般化曲率という2つの主要な指標を用いて、性能境界を導出する。
• 実世界のネットワーク設計問題における数値実験を通じて、これらの境界の実用的関連性を示す。

提案手法

• 本稿では、集合関数がどれほど単調性に近いかを測る指標として単調性比を導入し、単調性からの逸脱を定量化する。
• 一般化曲率を定義して、関数の増分への感度を定量化し、モジュラリティからの逸脱を捉える。
• 単調性比と一般化曲率をパrameterとして用いて、貪欲最大化の理論的性能境界を導出する。
• 境界は、制御系におけるグラミアンに基づく性能指標（可制御性、可観測性など）に特に適用される。
• 実験的および合成されたネットワークトポロジーを用いた数値実験により、理論的境界の妥当性を検証する。
• このアプローチにより、非単調関数の計算コストの高い正確な最適化に代えて、単純な貪欲アルゴリズムの使用が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御系アプリケーションにおける非単調集合関数に対して、貪欲アルゴリズムは性能保証を達成できるか？
• RQ2 単調性比は、集合関数の非単調性の度合いをどのように定量化できるか？
• RQ3 一般化曲率は、貪欲最大化の近似品質を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 導出された境界は、ネットワーク設計におけるグラミアンベースの性能指標に対してどの程度有効か？
• RQ5 理論的性能保証は、数値実験における実測結果と比べてどの程度一致するか？

主な発見

• 本稿は、単調性比と一般化曲率が有界である限り、非単調関数の貪欲最大化が保証された性能を達成できることを確立する。
• 単調性比と一般化曲率を用いて近似品質の理論的境界が導出され、古典的な単調最適化の結果が拡張される。
• 境界は、ネットワークおよび制御設計で一般的に用いられる可制御性と可観測性といったグラミアンベースの指標に対しても有効であることが示された。
• 数値実験により、単調性が満たされない状況下でも、貪欲アルゴリズムが実際にはほぼ最適に近い性能を発揮することが確認された。
• 提案されたフレームワークにより、複雑なネットワーク設計問題において、網羅的探索に代わる効率的な貪欲アルゴリズムの使用が可能になる。
• 結果として、2つの主要パrameterが有界である限り、制御系における非単調関数でさえ、単純な貪欲法を用いて信頼性高く最適化可能であることが示された。