[論文レビュー] Period and index in the Brauer group of an arithmetic surface (with an appendix by Daniel Krashen)

Max Lieblich|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 23

ひとこと要約

本論文は、算術的表面におけるブローバー類の分岐を分割するためのスタック的技法を導入し、スタック上のねじれた層を用いて、周期・指数問題に対する新たな境界を確立する。高次局所体または高次体の場合、ブローバー類の指数が周期の、体の次元に有界されたべき乗に割り切れることが証明されており、ダニエル・クラーシェンによる付録で、その境界が鋭いことが示されている。

ABSTRACT

In this paper we introduce two new ways to split ramification of Brauer classes on surfaces using stacks. Each splitting method gives rise to a new moduli space of twisted stacky vector bundles. By studying the structure of these spaces we prove new results on the standard period-index conjecture. The first yields new bounds on the period-index relation for classes on curves over higher local fields, while the second can be used to relate the Hasse principle for forms of moduli spaces of stable vector bundles on pointed curves over global fields to the period-index problem for Brauer groups of arithmetic surfaces. We include an appendix by Daniel Krashen showing that the local period-index bounds are sharp.

研究の動機と目的

• 高次局所体および高次体上のブローバー類の周期・指数関係に対する新たな境界を確立すること。
• グローバル体上の曲線における安定なベクトル束のモジュライ空間のハッセの原理と、算術的表面における周期・指数問題を結びつけること。
• 巡回的オビフォールド被覆およびルート構成を用いたスタック的枠組みを構築し、ブローバー類の分岐を分割すること。
• 局所的な周期・指数境界が鋭いことを証明し、導出された境界の最適性を確認すること。

提案手法

• スタック的技法を用いて、ねじれたスタック的ベクトル束のモジュライ空間を構成し、ブローバー類の分岐を解消する。
• 循環的オビフォールド被覆およびルート構成を適用して分岐を分割し、スタック的曲線上のねじれた層の研究を可能にする。
• 特にブローバー群の文脈において、ねじれた層の変形理論およびモジュライ理論に依拠する。
• 有限群スキームの分類スタック、例えば $\mathbf{B}\boldsymbol{\mu}_n$ におけるコhomological計算を実行し、ブローバー群を分析する。
• 形式的拡張およびスタック上のベクトル束の降下理論を用いて、グローバルおよび局所的不変量を関連付ける。
• ダニエル・クラーシェンによる付録では、高次局所体上の除法代数の明示的構成を用いて、導出された局所的周期・指数境界が鋭いことを証明している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次局所体上でのブローバー類の指数の、周期に関する最良の可能な境界は何か？
• RQ2 スタック幾何学を用いて、算術的表面におけるブローバー類の分岐を体系的にどのように分割できるか？
• RQ3 ベクトル束のモジュライ空間のハッセの原理が、算術的表面における周期・指数予想をどの程度まで含意するか？
• RQ4 グローバル体上での周期・指数問題が、スタック的モジュライ空間を通じて局所的条件に還元可能か？
• RQ5 高次局所体上のブローバー類の局所的周期・指数境界は最適か？

主な発見

• $d$-局所体 $K$ で、残渣体の $M'$-ブローバー次元が $a$ 以下であるとき、$K$ の $(Mp)'$-ブローバー次元は $a + d$ 以下である。これは帰納的境界を確立する。
• 代数的に閉じた体 $k$ を用いた反復ローラン級数体 $k((x_1))\cdots((x_d))$ において、周期が特徴値と互いに素であれば、指数は周期の $d$ 乗に割り切れる。
• $d$-局所体で、有限残渣体が特徴値 $p$ を持つ場合、周期が $p$ と互いに素であれば、指数は周期の $(d+1)$ 乗に割り切れる。さらに、体が局所体の最大非分岐拡大の代数的拡大であれば、等号が成り立つ。
• コリオ・ティルヌの予想を仮定すると、グローバル体 $K$ と、有理点を持つ曲線 $C/K$ に対して、奇数の周期で、その周期を割る素点で分岐せず、点で自明な任意のブローバー類 $α$ に対して $\operatorname{ind}(\alpha) \mid \operatorname{per}(\alpha)^2$ が成り立つ。
• 導出された局所的周期・指数境界は鋭い。任意の $d$ および特徴値と互いに素な $n$ に対して、$d$-局所体型の体と、周期 $n$、指数 $n^d$ のブローバー類が存在することが、クラーシェンによる付録で示されている。
• 価値論的議論を用いた高次局所体上の除法代数の構成は、境界の鋭さを確認しており、価値の基準および整数的モデル上のノルム多項式を用いている。