[論文レビュー] Period two implies chaos for a class of ODEs: a dynamical system approach

Marina Pireddu|ArXiv.org|Nov 8, 2009

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非一意に解が存在する時間周期的スカラー常微分方程式のクラスにおいて、周期2解の存在が、Bebutov流を用いた力学系のアプローチにより、すべての周期の周期的解の存在を示すことを確立している。さらに、Li-YorkeおよびDevaneyのカオス、正の位相的エントロピー、およびベルヌーイシフトと同相であることを証明しており、解の一意性の欠如にもかかわらずカオス的ダイナミクスが確認されている。

ABSTRACT

The aim of this note is to set in the field of dynamical systems a recent theorem by Obersnel and Omari about the presence of periodic solutions of all periods for a class of scalar time-periodic first order differential equations without uniqueness, provided a subharmonic solution (and thus, for instance, a solution of period two) does exist. Indeed, making use of the Bebutov flow, we try to clarify in what sense the term "chaos" has to be understood and which dynamical features can be inferred for the system under analysis.

研究の動機と目的

• ObersnelとOmariの結果を、力学系の枠組みで再定式化すること。
• 位相的力学系を用いて、非一意的解付きODEにおける「カオス」の意味を明確化すること。
• 周期2解の存在が、すべての周期の周期的解の存在を示すこと。
• 解集合がLi-YorkeおよびDevaneyカオスを示し、正の位相的エントロピーを示し、ベルヌーイシフトと同相であることを証明すること。

提案手法

• Bebutov流を用いて関数空間における解の時間発展をモデル化し、全域的解の存在や一意性の必要性を回避する。
• コン pact な不変集合 W に制限された Bebutov 流と、2記号の両側ベルヌーイシフトとの間に同相性を構築する。
• 解空間を符号的力学系の枠組みに埋め込むために、符号列から解軌道へのホメオモーフィズム φ を定義する。
• 同相性を用いて位相的エントロピーを計算する：h_top(ψ) = h_top(σ) = log(2)。
• ベルヌーイシフトの既知の性質（感度、トランスティビティ、稠密な周期的軌道、スクラムブルセット）を用いて、系のカオス的特徴を導出する。
• 連結性とキャンセレーション補題を用いて、一般の場合を周期2の場合に還元し、すべての準周期的解の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一意的解付き時間周期的ODEにおいて、周期2解の存在が、すべての周期 n ≥ 1 の周期的解の存在を示唆するか？
• RQ2 解の一意性が欠落する場合、このような系でどのような力学的特徴を導き出せるか？
• RQ3 位相的力学系を用いて、この文脈における「カオス」という用語を厳密に定義・検証できるか？
• RQ4 解集合は、ベルヌーイシフトのような既知のカオス的系と同相か？
• RQ5 Bebutov流の枠組みを用いることで、解の全域的存在を仮定せずにこのような系を解析可能か？

主な発見

• 周期2の準周期的解の存在は、すべての周期 n ≥ 1 の準周期的解の存在を示唆する。
• 解集合が生成する力学系は、2記号の両側ベルヌーイシフトと同相である。
• 系の位相的エントロピーは log(2) であり、正の複雑性を確認する。
• 系はLi-Yorkeカオスを示し、ダイナミクスに関して不変なスクラムブルセットを有する。
• 系は初期条件に対して感度が高く、位相的にトランスティビティであり、周期的解が稠密に存在する。
• ベルヌーイシフトにおける周期的符号列は、解空間内での実際の周期的軌道として実現される。