[論文レビュー] Periodic Homogenization for Weakly Elliptic Hamilton-Jacobi-Bellman Equations with Critical Fractional Diffusion

Adina Ciomaga, Daria Ghilli+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 39被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、弱楕円型のハミルトニアン・ジャコビ・ベルルマン方程式に臨界的分数階の拡散を含む場合について、粘性解と半緩下極限を用いて周期的均質化を確立する。有効ハミルトニアンのリプシッツ連続性と弱楕円性下での収束結果を証明しており、拡散項と対流項の大きさが同程度である臨界スケーリング領域における補正関数の精密なリプシッツ推定に依拠している。

ABSTRACT

In this paper we establish periodic homogenization for Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equations, associated to nonlocal operators of integro-differential type. We consider the case when the fractional diffusion has the same order as the drift term, and is weakly elliptic. The outcome of the paper is twofold. One one hand, we provide Lipschitz regularity results for weakly elliptic non-local HJB, extending the results previously obtained in [8]. On the other hand, we establish a convergence result, based on half relaxed limits and a comparison principle for the effective problem. The latter strongly relies on the regularity and the ellipticity properties of the effective Hamiltonian, for which a fine Lipschitz estimate of the corrector plays a crucial role.

研究の動機と目的

• 非局所的臨界的分数階拡散を伴うハミルトニアン・ジャコビ・ベルルマン方程式に対する周期的均質化を確立すること。
• 従来の研究を一般化し、弱楕円型の積分微分作用素へリプシッツ連続性の結果を拡張すること。
• 半緩下極限と比較原理を用いて、均質化パラメータ ε → 0 の下での解の収束を証明すること。
• 有効ハミルトニアンの正則性と楕円性を分析し、収束証明の根幹をなすものとする。
• 点での一様楕円性ではなく、積分的ライプニッツ条件を満たすカーネルに限定すること。

提案手法

• リプニッツ型生成子を伴う非局所的2階積分微分方程式に対する粘性解理論を用いる。
• 均質化過程における極限の取り扱いに半緩下極限の手法を適用する。
• 有効ハミルトニアンの正則性を制御するため、補正関数の精密なリプシッツ推定を用いる。
• 極限方程式に対する比較原理に依拠しており、これは有効ハミルトニアンの楕円性と正則性に依存する。
• カーネルに対する積分的条件 ∫ min(1,|z|²)K^a(ξ,z)dz < ∞ を用いて弱楕円性を定義し、点での有界性ではなくする。
• 非局所項を制御するため、巧みに構築されたテスト関数 φ と ψ を用いた摂動テスト関数法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡散項と対流項の大きさが同程度である臨界スケーリング下で、弱楕円型の非局所HJB方程式に対し周期的均質化が確立可能か？
• RQ2 弱楕円性下で、補正関数の性質が有効ハミルトニアンに与える正則性にどのような影響を与えるか？
• RQ3 非局所作用素の構造とカーネルの可積分性に依存して、ε解の収束がどのように決まるか？
• RQ4 弱楕円性と臨界スケーリング下で、有効問題に対する比較原理を適用可能か？
• RQ5 補正関数のリプシッツ推定が、均質化過程の収束を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 有効ハミルトニアンがリプシッツ連続であることが示され、これは均質化極限における比較原理に不可欠である。
• 半緩下極限と粘性解の技法を用いて、ε解が有効解に収束することが確立された。
• 証明は、非局所項を制御するための補正関数の鋭いリプシッツ推定に依拠している。
• 拡散項と対流項がともに1次オーダーである臨界スケーリング領域において、弱楕円性下で処理され、従来の均一楕円性を要件としていた結果を一般化している。
• 非局所項は、小さな跳躍と大きな跳躍に分解し、ライプニッツ条件とカーネルのホルダー型正則性に基づく評価を用いて制御された。
• 証明の最終的矛盾論法では、ρ = ρ₀ε²ʳ かつ r < γ と選ぶことで、ε, ζ → 0 の下で消失する o_ε(1) + o_ζ(1) 項が得られた。