[論文レビュー] Periodic Points on Shifts of Finite Type and Commensurability Invariants of Groups

David Carroll, Andrew Penland|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2015

semigroups and automata theory参考文献 18被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、有限型移動 (SFT) の弱周期性および強周期性が群の共通可換性に関して不変であることを確立しており、これらの力学的性質が全共通可換性類にわたって保存されることを示している。さらに、有限生成核を伴う拡大において強周期性が保存されることを証明し、多項式成長度が ≥2 である群は強周期的でないことが導かれ、強周期性が擬円型群を特徴づけると予想している。

ABSTRACT

We explore the relationship between subgroups and the possible shifts of finite type (SFTs) that can be defined on the group. In particular, we investigate two group invariants, weak periodicity and strong periodicity, defined via symbolic dynamics on the group. We show that these properties are invariants of commensurability. Thus, many known results about periodic points in SFTs defined over groups are actually results about entire commensurability classes. Additionally, we show that the property of being not strongly periodic (also called weakly aperiodic) is preserved under extensions with finitely generated kernels. We conclude by raising questions and conjectures about the relationship of these invariants to the geometric notions of quasi-isometry and growth.

研究の動機と目的

• 群の群論的性質が有限型移動 (SFT) における周期点の存在に与える影響を調査すること。
• すべてのSFTに周期点が存在するという事実に基づいて、弱周期性および強周期性という2つの不変量を定義・分析すること。
• これらの不変量が共通可換性に関して保存されることを確立し、SFTに関する既知の結果を全共通可換性類の群にまで拡張すること。
• 強周期性と群構造の関係、特に多項式成長群および有限生成核を伴う拡大において探ること。
• 強周期性が擬円型群を特徴づけると予想することにより、力学的性質と幾何群論を結びつけること。

提案手法

• 著者らは、群上のすべてのSFTが少なくとも1つの周期点を持つという性質を弱周期性と定義し、すべてのSFTが有限軌道を持つ周期点を持つという性質を強周期性と定義している。
• 有限指数部分群間での周期性の性質を関連付けるために、任意の群に一般化された高次ブロックシフト構成を用いている。
• 核が有限生成である全単射な群準同型 G → Q を介して、商群 Q 上のSFTと群 G 上のSFTとの間の対応を確立している。
• G が強周期的で、N が有限生成な正規部分群であるとき、商群 G/N も強周期的であることを示しており、配置空間間の誘導写像の G-不変性を用いている。
• Gromovの多項式成長群に関する定理を適用し、成長度 γ(n) ∼ n^d で d ≥ 2 である任意の有限生成群が強周期的でないことを示している。これは ℤ² への還元によって行われ、ℤ² が強周期的でないという事実に基づく。
• 粗幾何およびホモロジー論の結果（例：Block–Weinberger, Mozes）を用いて、唯一擬円型群が強周期的であるという予想を支持している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱周期性および強周期性は群の共通可換性に関して不変であり、もしそうならば、それらは群の全共通可換性類にまで拡張可能か？
• RQ2 有限生成核を伴う拡大において、強周期性の性質は保存されるか？ そしてこれは多項式成長群に何を意味するか？
• RQ3 強周期的でないSFTの存在は、準等長性や成長タイプといった幾何的性質を区別するために用いることができるか？
• RQ4 強周期性は擬円型群と同値であるか？ もしそうならば、これは記号的力学による群の分類に何を意味するか？
• RQ5 SFTの力学的性質は、準等長性や成長率といった粗幾何的不変量とどのように関係するか？

主な発見

• 弱周期性および強周期性は共通可換性に関して保存される：2つの有限生成群が共通可換であり、一方が弱周期的（または強周期的）であれば、他方も同様に弱周期的（または強周期的）である。
• 強周期性は有限生成核を伴う群の拡大において保存される：G が強周期的で、N が有限生成な正規部分群であれば、商群 G/N も強周期的である。
• 成長度 d ≥ 2 の多項式成長群は強周期的でない。これは Gromovの定理を用い、ℤ² への還元によって示されており、ℤ² が強周期的でないという事実に基づく。
• 強周期的でないSFTの存在は遺伝的でない。これは ℤ ≤ ℤ² であるが、ℤ は強周期的であるのに対し、ℤ² はそうではないという事実によって裏付けられている。
• 本稿では、群が強周期的であることと擬円型群であることの同値性を予想しており、記号的力学と群構造との間に深い関係があると示唆している。
• 結果として、SFTにおける周期点に関する多くの既知の結果が群固有の性質ではなく、全共通可換性類にまで一般化可能であることが示唆され、その適用範囲が拡大される。