[論文レビュー] Permanental processes from products of complex and quaternionic induced Ginibre ensembles

Gernot Akemann, J. R. Ipsen+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2014

Random Matrices and Applications参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、複素数およびハミルトン数の生成Ginibre確率的行列の積の固有値の絶対値の二乗が、恒等的点過程を形成することを確立する。原点回りの空洞領域（ホール）および固定された円板内での固有値密度の過剰（オーバーカンティング）確率について、正確かつ漸近的な表現が導出され、単一のGinibre行列に関する先行研究を、有限で固定された行列サイズの積および正方行列の積に関する既知の結果と一致する漸近的極限に一般化する。

ABSTRACT

We consider products of independent random matrices taken from the induced Ginibre ensemble with complex or quaternion elements. The joint densities for the complex eigenvalues of the product matrix can be written down exactly for a product of any fixed number of matrices and any finite matrix size. We show that the squared absolute values of the eigenvalues form a permanental process, generalising the results of Kostlan and Rider for single matrices to products of complex and quaternionic matrices. Based on these findings, we can first write down exact results and asymptotic expansions for the so-called hole probabilities, that a disc centered at the origin is void of eigenvalues. Second, we compute the asymptotic expansion for the opposite problem, that a large fraction of complex eigenvalues occupies a disc of fixed radius centered at the origin; this is known as the overcrowding problem. While the expressions for finite matrix size depend on the parameters of the induced ensembles, the asymptotic results agree to leading order with previous results for products of square Ginibre matrices.

研究の動機と目的

• 単一のGinibre行列からの恒等的点過程を、複素数およびハミルトン数の生成Ginibre行列の積へ一般化すること。
• 原点を中心とする円板に固有値が存在しない確率（ホール確率）の正確および漸近的表現を導出すること。
• 原点付近の固定半径の円板に多数の固有値が存在する確率（オーバーカンティング確率）の漸近的展開を計算すること。
• 生成Ginibre行列の積におけるホールおよびオーバーカンティング確率の漸近的結果が、正方行列の積におけるそれらと、一次の項で一致することを示すこと。
• 確率的行列理論における行列積の非エルミート的で生成されたアンサンブルの文脈へ、既知の行列式およびパフリアン点過程に関する結果を拡張すること。

提案手法

• 有限サイズNの独立な複素数およびハミルトン数の生成Ginibre行列の積のための同時固有値密度を導出する。
• 一般化されたシュール分解を用いて、重み関数を含む行列の恒等的関数で同時密度を表現する。
• 恒等的点過程の枠組みを用いて、固有値の絶対値の二乗が恒等的点過程を形成することを示す。
• 固有値密度に含まれる対数項を含む和の漸近的展開を導出するために、オイラー＝マクローリンの和公式を適用する。
• 複素数Ginibre行列の積に関する先行研究の技術をハミルトン数の場合に適応し、関連結果を結びつけるために、重要なスケーリング変換k → 2kを用いる。
• 積分表現および漸近的解析を用いて、大N極限におけるホール確率およびオーバーカンティング確率を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数およびハミルトン数の生成Ginibre行列の積は、固有値の絶対値の二乗について、恒等的点過程をもたらすか？
• RQ2 このような行列積において、原点を中心とする円板に固有値が存在しない確率（ホール確率）の正確および漸近的表現は何か？
• RQ3 原点付近の固定半径の円板に多数の固有値が存在する確率（オーバーカンティング確率）の漸近的表現は何か？
• RQ4 生成Ginibre行列の積におけるホールおよびオーバーカンティング確率の漸近的結果は、正方行列の積におけるそれらとどのように比較できるか？
• RQ5 固有値点過程の恒等的構造を活用することで、生成アンサンブルの具体的なパrameterに依存しない普遍的な漸近的挙動を導出できるか？

主な発見

• 複素数およびハミルトン数の生成Ginibre行列の積の固有値の絶対値の二乗は、恒等的点過程を形成する。
• 有限サイズNおよび積に含まれる行列の数が任意の固定値である場合、ホール確率およびオーバーカンティング確率の正確な表現が得られる。
• オイラー＝マクローリンの公式および積分近似を用いて、ホール確率およびオーバーカンティング確率の漸近的展開が得られる。
• 生成Ginibre行列の積におけるホールおよびオーバーカンティング確率の一次の漸近的挙動は、正方行列の積におけるそれらと一致する。
• ハミルトン数の場合の結果は、関連する式において単純なスケーリング変換k → 2kにより、複素数の場合と関連づけられる。
• 本結果は、単一のGinibre行列に関するKostlanおよびRiderのホール確率に関する既知の結果を、複素数およびハミルトン数の成分をもつ行列の積へ一般化する。