[논문 리뷰] Permanents in linear optical networks

Stefan Scheel|arXiv (Cornell University)|2004. 06. 18.

Photonic and Optical Devices인용 수 56

한 줄 요약

이 논문은 선형 광학 네트워크와 행렬의 영구치 사이의 기본적인 연결 고리를 설정하며, 다중모드 광자 포크 상태의 유니타리 변환된 행렬 원소가 유니타리 행렬의 영구치를 통해 직접 계산됨을 보여준다. 주요 기여는 이러한 계산이 영구치 계산의 #P-완전성 때문에 일반적으로 계산적으로 어려움을 겪는다는 점이며, 양자역학은 임의의 유니타리 행렬의 영구치가 복소 평면의 전체 단위 원판을 차지한다는 결과를 더 단순한 방식으로 유도함을 보여준다.

ABSTRACT

We develop an abstract look at linear optical networks from the viewpoint of combinatorics and permanents. In particular we show that calculation of matrix elements of unitarily transformed photonic multi-mode states is intimately linked to the computation of permanents. An implication of this remarkable fact is that all calculations that are based on evaluating matrix elements are generically computationally hard. Moreover, quantum mechanics provides simpler derivations of certain matrix analysis results which we exemplify by showing that the permanent of any unitary matrix takes its values across the unit disk in the complex plane.

연구 동기 및 목표

• 선형 광학 네트워크와 행렬의 영구치를 연결하는 조합적 프레임워크를 수립하기 위해.
• 다중모드 포크 상태에서의 행렬 원소 계산이 영구치 평가로 인해 계산적으로 어려움을 겪는 것을 보여주기 위해.
• 양자역학적 추론이 유니타리 행렬의 영구치 성질 유도를 단순화할 수 있는지 보여주기 위해.
• 다중모드 광학 상태의 유니타리 변환을 영구치를 사용하여 압축된 수학적 형식으로 제공하기 위해.

제안 방법

• 행렬의 영구치를 중심 수학적 객체로 사용하며, 이는 모든 순열에 대한 행렬 원소의 곱의 합으로 정의된다.
• 행렬 Λ의 부분행렬을 나타내는 표기법 Λ[k₁,…,kₘ|l₁,…,lₘ]을 도입하여 영구치 계산에 필요한 블록을 추출한다.
• 영구치를 사용하여 선형 광학 네트워크에서의 다중모드 포크 상태의 변환을 기술한다.
• 랜덤 유니타리 행렬에 대해 평균을 내어 선형광학 네트워크의 얽힘 에너지(power)를 유도하며, 계수와 그 복소수 켤레의 곱을 포함하는 적분 문제로 문제를 축소한다.
• 랜덤 초깃 Zustand에 대해 유니타리 군 위에서 각도 및 초구면 적분을 수행하여 δ-함수와 정규화 인자로 표현된 결과를 도출한다.
• ∫|cᵢ|⁴ dμ = 3/((N+1)(N+3)) 및 ∫|cᵢ|²|cⱼ|² dμ = 1/((N+1)(N+3)) 라는 결과를 사용하여 평균 행렬 원소를 단순화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유니타리로 변환된 다중모드 광자 포크 상태의 행렬 원소는 유니타리 행렬의 영구치와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 이러한 행렬 원소의 계산이 왜 계산적으로 어려운가?
• RQ3 유니타리 행렬의 영구치는 복소 평면에서 어떻게 분포하는가?
• RQ4 양자역학적 추론은 유니타리 행렬의 영구치 성질 유도를 단순화할 수 있는가?
• RQ5 영구치를 사용하여 선형광학 네트워크의 얽힘 에너지를 어떻게 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 유니타리로 변환된 다중모드 포크 상태의 행렬 원소는 유니타리 변환 행렬에서 유도된 부분행렬의 영구치로 직접 계산된다.
• 이러한 행렬 원소의 계산은 영구치가 #P-완전이므로 일반적으로 계산적으로 어려운데, 이는 다항시간을 갖는 고전적 알고리즘이 존재하지 않음을 의미한다.
• 임의의 유니타리 행렬의 영구치는 복소 평면의 전체 단위 원판을 차지한다. 이 결과는 양자역학적 추론을 통해 더 단순하게 도출된다.
• 랜덤 초깃 Zustand에 대해 평균을 내면, 특정 부분행렬의 영구치의 절댓값만을 포함하는 표현식이 도출된다.
• 평균 계수의 정규화 인자는 ∫|cᵢ|⁴ dμ = 3/((N+1)(N+3)) 및 ∫|cᵢ|²|cⱼ|² dμ = 1/((N+1)(N+3)) (i ≠ j)이다.
• 평균 얽힘 에너지의 최종 표현식은 형태 |per Λ[(1^{m₁+m₂−k₂}, 2^{k₂}) | (1^{m₁}, 2^{m₂})]|의 영구치에 대해 최대 4차까지 의존한다.