[論文レビュー] Permutation tableaux and the asymmetric exclusion process

Sylvie Corteel, Lauren Williams|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2006

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 13被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、部分的に非対称排除過程（PASEP）と順列テーブルックスの間の直接的な関係を確立し、長時間極限において、PASEPの配置τの確率が、形状λ(τ)の順列テーブルックスの生成関数に比例することを示している。この生成関数は3つの統計量で重み付けられている。証明はDerridaらの行列アンザッツに依拠しており、単調性の結果と、降下集合、弱指数超過集合、交差、一般化されたパターンに関する新しい数え上げ恒等式を導出する。

ABSTRACT

The partially asymmetric exclusion process (PASEP) is an important model from statistical mechanics which describes a aystem of interacting particles hopping left and right on a one-dimensional lattice of n sites. It is partially asymmetric in the sense that the probability of hopping left is q times the probability of hopping right. Additionally, particles may enter from the left with probability α and exit from the right with probability β. In this paper we prove a close connection between the PASEP and the combinatorics of permutation tableaux. (These tableaux come indirectly from the totally nonnegative part of the Grassmannian, via work of Postnikov [12], and were studied in a paper of Steingrimsson and the second author [15].) Namely, we prove that in the long time limit, the probability that the PASEP is in a particular configuration τ is essentially the generating function for permutation tableaux of shape λ(τ) enumerated according to three statistics. The proof of this result uses a result of Derrida et al [7] on the matrix ansatz for the PASEP model. As an application, we prove some monotonicity results for the PASEP when α = β = 1. We also derive some enumerative consequences for permutations enumerated according to various statistics such as weak excedence set, descent set, crossings, and occurences of generalized patterns.

研究の動機と目的

• PASEPの定常確率と順列テーブルックスの間の組合せ的関係を確立すること。
• この関係を用いて、α = β = 1のときのPASEPの単調性の性質を導出すること。
• 降下集合、弱指数超過集合、交差、一般化されたパターンなどの統計量を通じて、順列に関する新しい数え上げ恒等式を明らかにすること。
• 行列アンザッツ法を用いて、物理的モデルを組合せ的生成関数に翻訳すること。

提案手法

• Derridaらが開発した行列アンザッツフレームワークを用いて、PASEPの定常分布をモデル化する。
• 各PASEP配置τを形状λ(τ)に写像し、これにより対応する順列テーブルックスが定義される。
• 3つの統計量を用いて形状λ(τ)の順列テーブルックスを数え上げ、これらが直接的にτの定常確率を決定する。
• τの定常確率が、これらのテーブルックスの生成関数に比例することを確立する。
• Grassmann多様体に関するPostnikovの研究およびSteingrimsson（第二著者の）順列テーブルックスに関する研究からの組合せ的技法を適用する。
• 得られた生成関数を用いて、順列に関する単調性および数え上げの結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PASEPの定常確率は、順列テーブルックスのような組合せ的対象とどのように関係しているか？
• RQ2 PASEP配置の確率分布に対応する順列テーブルックス上の組合せ的統計量は何か？
• RQ3 α = β = 1のとき、PASEPの単調性の性質はその組合せ的構造から導出可能か？
• RQ4 行列アンザッツは統計力学モデルと順列テーブルックスをどのように結びつけるか？
• RQ5 この関係からどのような新しい順列の数え上げ恒等式が得られるか？

主な発見

• PASEP配置τの定常確率は、形状λ(τ)の順列テーブルックスの生成関数に比例し、3つの特定の統計量で重み付けられている。
• α = β = 1のとき、PASEPの定常確率は単調性を示し、これはテーブルックスの数え上げによって組合せ的に説明できる。
• この関係により、弱指数超過集合や降下集合に関連する数え上げ結果が得られる。
• 順列における一般化されたパターンの出現と交差は、順列テーブルックス上の統計量と関連している。
• 行列アンザッツは、PASEPの代数的構造から明示的な組合せ的生成関数への厳密な道筋を提供する。
• 結果は順列テーブルックスの統計量の全範囲に拡張され、それらの数え上げを統一的に扱うフレームワークを提供する。