[論文レビュー] Persistence and permanence of mass-action and power-law dynamical systems

Gheorghe Crăciun, Fëdor Nazarov+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2010

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、弱可逆またはエンドオタクティックなネットワークから導かれる2種類の物質量作用およびパワー則力学系が、反応速度定数にかかわらず、常に持続的かつ永続的であることを証明している。本稿は、より広いクラスの系について永続性を確立し、時間変動する速度定数を含む場合にも適用可能であり、3種類の系におけるグローバルアトラクター予想の証明に向けた重要な一歩を示している。特に、正の平衡点のグローバル漸近的安定性を示している。

ABSTRACT

Persistence and permanence are properties of dynamical systems that describe the long-term behavior of the solutions, and in particular specify whether positive solutions approach the boundary of the positive orthant. Mass-action systems (or more generally power-law systems) are very common in chemistry, biology, and engineering, and are often used to describe the dynamics in interaction networks. We prove that two-species mass-action systems derived from weakly reversible networks are both persistent and permanent, for any values of the reaction rate parameters. Moreover, we prove that a larger class of networks, called endotactic networks, also give rise to permanent systems, even if we allow the reaction rate parameters to vary in time. These results also apply to power-law systems and other nonlinear dynamical systems. In addition, ideas behind these results allow us to prove the Global Attractor Conjecture for three-species systems.

研究の動機と目的

• 弱可逆ネットワークから導かれる2種類の物質量作用系の持続的および永続的性を確立すること。
• 弱可逆ネットワークを一般化する「エンドオタクティックなネットワーク」のクラスを導入し、その分析を行うこと。
• コンパクトな部分集合内で変動する速度定数（κ-可変）を持つ物質量作用系についての永続性を証明すること。
• 実数の指数を許容するパワー則系、特にSシステムを含む系への結果の拡張。
• 3種類の系におけるグローバルアトラクター予想の証明に向けた重要な一歩を提供すること。

提案手法

• 反応ベクトルの向きと出発複合体に基づき、幾何学的および組合せ論的解析を通じてエンドオタクティックなネットワークを定義する。
• リャプノフ関数法と境界挙動の解析を用いて、永続性および持続的性を証明する。
• 単項式における実数の指数を許容することで、物質量作用系からパワー則系への一般化を実現する。
• 速度定数が (0, ∞) のコンパクト部分集合内で連続的に変動するκ-可変系を導入し、その永続性を保証する。
• Sシステムおよびロトカ＝ヴォルテラ型モデルに定理を適用し、ネットワーク構造に基づいて永続性を検証する。
• 化学Stoichiometric適合クラスおよび正の平衡点の概念を用いて、長期的挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2種類の弱可逆物質量作用系は、すべての正の速度定数に対して持続的かつ永続的か？
• RQ2 エンドオタクティックなネットワークのクラスを用いて、κ-可変物質量作用系の永続性を証明できるか？
• RQ3 実数の指数を許容するパワー則系（Sシステムなど）に対しても、永続性の結果は拡張可能か？
• RQ4 本稿の持続的性に関する結果を用いて、3種類の系におけるグローバルアトラクター予想を証明できるか？
• RQ5 弱可逆性を超えるネットワーク構造は、2種類の系においても永続性を保証するか？

主な発見

• 2種類の弱可逆物質量作用系は、すべての正の速度定数に対して、持続的かつ永続的である。
• エンドオタクティックなネットワークは弱可逆ネットワークを厳密に一般化し、κ-可変物質量作用系においても永続的である。
• 実数の指数を許容するパワー則系（Sシステムを含む）に対しても結果が拡張され、時間変動する速度定数下でも永続的であることが保証される。
• Sシステムをモデル化する系(27)は永続的であり、軌道は0および無限大から常に離れている。
• 定理21により、零欠損度および境界平衡点を有する2つの3種類の系において、一意の正の平衡点がグローバル漸近的安定であることが確認された。
• 本稿は、複合バランス系の持続的性を確立することで、グローバルアトラクター予想の証明に向けた重要な一歩を提供している。