[論文レビュー] Persistence approximation property and controlled operator K-theory

Hervé Oyono‐Oyono, Guoliang Yu|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、フィルター付きC*-代数の定量的K理論における恒続的近似性質（PAP）を導入し、係数付きバーム＝コンヌ予想を満たす交叉積C*-代数に対して、PAPが一様に成り立つことを確立する。主な貢献は、PAPが、基になる空間がヒルベルト空間に粗的に埋め込める場合、有限生成群に対するノヴィコフ予想を示すことである。制御されたアセンブリーマップを通じて、問題が有限次元線形代数に還元されることに帰着される。

ABSTRACT

In this paper, we introduce and study the persistence approximation property for quantitative K-theory of filtered C*-algebras. In the case of crossed product C*-algebras, the persistence approximation property follows from the Baum–Connes conjecture with coefficients. We also discuss some applications of the quantitative K-theory to the Novikov conjecture.

研究の動機と目的

• フィルター付きC*-代数における定量的K理論における恒続的近似性質（PAP）を定義し、研究すること。
• 係数付きバーム＝コンヌ予想を満たす場合、PAPが交叉積C*-代数に対して成り立つことを確立すること。
• 粗幾何と幾何的アセンブリーマップを通じてPAPとノヴィコフ予想を結びつけること。
• 有界幾何をもつ群の場合に、ノヴィコフ予想の問題を有限次元線形代数に還元すること。

提案手法

• フィルター付きC*-代数Aに対して、K∗(A)の近似としてKε,r∗(A)を定量的K理論群として導入する。
• PAPを一様収束として定義する：ある元がK∗(A)で消えることと、ε′ ≥ εおよびr′ ≥ rを満たすあるKε′,r′∗(A)で消えることは同値である。
• 有界幾何をもつ離散距離空間Σに対して、Kε,r∗(A⊗K(ℓ2(Σ)))に値をとる定量的局所粗いアセンブリーマップνε,r,dΣ,A,∗を構成する。
• 幾何的アセンブリーマップν∞Σ,A,∗を導入し、それが(GΣ, AC0(Σ))に対するバーム＝コンヌ予想と同値であることを示す。
• 群のゴープイド的アプローチを用いて、ν∞Σ,A,∗の像を交叉積のK理論と関連付ける。
• Σの有限部分集合上で定量的命題が一様に成り立つならば、粗いバーム＝コンヌ予想が成り立ち、したがって群のノヴィコフ予想も成り立つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群作用から生じるフィルター付きC*-代数に対して、恒続的近似性質（PAP）は一様に成り立つか？
• RQ2 恒続的近似性質（PAP）を用いて、有限生成群に対するノヴィコフ予想を導くことができるか？
• RQ3 粗幾何と制御されたアセンブリーマップは、PAPの確立において果たす役割は何か？
• RQ4 幾何的アセンブリーマップν∞Σ,A,∗は、群のゴープイドに対するバーム＝コンヌ予想とどのように関係するか？
• RQ5 （例えばヒルベルト空間への粗的埋め込みなど）どのような幾何的条件下でPAPが成り立つか？

主な発見

• Γが係数付きバーム＝コンヌ予想を満たし、固有作用に対するコアミパクトな普遍空間をもつ場合、A ⋊r Γの縮小交叉積に対してPAPが成り立つ。
• 有界幾何をもつ離散距離空間Σに対して、A⊗K(ℓ2(Σ))のPAPは、幾何的アセンブリーマップν∞Σ,A,∗の全単射性と同値である。
• Σがヒルベルト空間に粗的に埋め込めるならば、[8, 6.2節]の定量的命題が有限部分集合上で一様に成り立ち、粗いバーム＝コンヌ予想が導かれる。
• 有限生成群Γに対してノヴィコフ予想が成り立つのは、Γの有限部分集合上で定量的命題が一様に成り立つ場合であり、ヒルベルト空間への粗的埋め込みを仮定する。
• 問題は有限次元線形代数に還元される：幾何的アセンブリーマップとK理論の計算が、有限次元設定において取り扱いやすくなる。