[論文レビュー] Persistence of deterministic population processes and the Global Attractor Conjecture

David F. Anderson, Anne Shiu|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2009

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 13被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、境界の平衡状態が境界の相対的に開いた部分多面体上にある複素バランス型化学反応系について、グローバルアトラクター予想を証明し、不変多様体内での平衡状態のグローバル漸近的安定性を確立する。この条件下で弱可逆型の人口過程についても恒常性が確認され、以前の結果を2次元不変多様体へと拡張し、長年の予想を解消するための重要な一歩を提供する。

ABSTRACT

This paper concerns the dynamical behavior of weakly reversible, deterministically modeled population processes near the facets of their invariant manifolds and gives sufficient conditions for persistence of these systems. It has been conjectured that any population process whose network graph is weakly reversible (has strongly connected components) is persistent. We prove this conjecture for a class of systems. An important application of this work pertains to chemical reaction systems that are “complex-balancing. ” For these systems it is known that within the interior of each invariant manifold there is a unique equilibrium. The Global Attractor Conjecture states that each of these equilibria is globally asymptotically stable relative to the interior of the invariant manifold in which it lies. Our main result implies that this conjecture holds for all complex-balancing systems whose boundary equilibria lie in relatively open facets of the boundary. As a corollary, we show that the Global Attractor Conjecture holds for those systems for which the associated invariant manifolds are two-dimensional.

研究の動機と目的

• 弱可逆な決定的人口過程における恒常性の十分条件を確立すること。
• 不変多様体内における複素バランス型反応系の平衡状態の安定性を調査すること。
• 境界の平衡状態が境界の相対的に開いた部分多面体上にある系について、グローバルアトラクター予想を解決すること。
• この予想の有効性を2次元不変多様体へと拡張すること。
• すべての弱可逆系についてグローバルアトラクター予想を証明するための基盤的結果を提供すること。

提案手法

• 不変多様体の境界付近における弱可逆型人口過程の動的挙動を分析する。
• 不変多様体内における軌道のオメガ極限集合を研究するために、幾何学的および力学系の技法を適用する。
• ネットワークグラフの構造、特に弱可逆性および成分の強い連結性を用いて、恒常性の条件を導出する。
• 各不変多様体に一意の平衡状態を含む複素バランス型系に焦点を当てる。
• 境界の平衡状態が相対的に開いた部分多面体上にある場合、内部に唯一の平衡状態が存在し、それがグローバル漸近的安定であることを確立する。
• 2次元不変多様体にこの結果を適用し、この場合に予想が成り立つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱可逆な人口過程が、その不変多様体の境界付近で、どのような条件下で恒常的となるのか。
• RQ2 境界の平衡状態が境界の相対的に開いた部分多面体上にある複素バランス型系について、グローバルアトラクター予想は成り立つか。
• RQ3 複素バランス型系の各不変多様体に存在する一意の平衡状態は、多様体が2次元である場合、グローバル漸近的安定か。
• RQ4 境界挙動および不変多様体構造の分析を通じて、弱可逆系の恒常性を保証できるか。
• RQ5 反応ネットワークのどのような構造的性質が、複素バランス型系における平衡状態のグローバル安定性を保証するか。

主な発見

• 境界の平衡状態が境界の相対的に開いた部分多面体上にあるすべての複素バランス型系について、グローバルアトラクター予想が成立する。
• 境界の平衡状態が相対的に開いた部分多面体上に制限されるという条件下で、弱可逆型人口過程の恒常性が確立される。
• 境界の平衡状態が相対的に開いた部分多面体上にある場合、複素バランス型系の各不変多様体内に存在する一意の平衡状態はグローバル漸近的安定である。
• 2次元不変多様体をもつ系について、予想が確認され、重要な特殊ケースの解決が達成された。
• 結果として、すべての弱可逆系についてグローバルアトラクター予想を証明するための重要な一歩が得られた。