[논문 리뷰] Persistence of Excitation in Reproducing Kernel Hilbert Spaces, Positive Limit Sets, and Smooth Manifolds

Andrew J. Kurdila, Jia Guo외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 26.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 30인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 재생 커널 힐버트 공간(RKH) 내에서 지속적으로 자극되는(PE) 집합이, RKH 공간에 풍부한 컷오프 함수 가족이 포함되어 있을 경우 연속 반유역의 양의 극한 집합의 부분집합임을 규명한다. 또한 PE 조건이 불확실한 상미방정식에 대한 RKH 공간 임bedding에서 적응형 함수 추정의 수렴을 보장함을 증명하며, 특히 양의 극한 집합이 매끄러운 다양체일 경우, 소볼레프-마틴 커널과 같은 외재적 커널을 다양체에 제한하여 적용함으로써 이를 실현한다.

ABSTRACT

This paper studies the relationship between the positive limit sets of continuous semiflows and the newly introduced definition of persistently excited (PE) sets and associated subspaces of reproducing kernel Hilbert (RKH) spaces. It is shown that if the RKH space contains a rich collection of cut-off functions, persistently excited sets are contained as subsets of the positive limit set of the semiflow. The paper demonstrates how the new PE condition can be used to guarantee convergence of function estimates in the RKH space embedding method for adaptive estimation. In particular, the paper is applied to uncertain ODE systems with positive limit sets given by certain types of smooth manifolds, and it establishes convergence of adaptive function estimates over the manifolds.

연구 동기 및 목표

• 반유역 내에서 지속적으로 자극되는(PE) 집합과 양의 극한 집합 간의 관계를 명확히 하기.
• 불확실한 상미방정식에 대한 RKH 공간 임베딩에서 적응형 함수 추정의 수렴을 위한 충분조건을 제공하기.
• 양의 극한 집합이 매끄러운 다양체일 경우 RKH 공간과 커널을 선택하는 실용적 방법을 개발하기.
• 유한차원 근사에서 양의 극한 집합 근처에 중심을 두거나 그 위에 놓인 라디얼 기저 함수의 사용을 정당화하기.
• RKH 임베딩 방법의 실현 가능한 구현에서 기저 함수 선택을 위한 이론적 기반을 구축하기.

제안 방법

• RKH 공간 내에서 지속적으로 자극되는(PE) 집합의 새로운 정의를 도입하고, 반유역의 양의 극한 집합과의 관계를 규명한다.
• 재생 커널 힐버트 공간(RKH) 이론과 추적 연산자(trace operator)를 활용하여, 임베딩 공간에서의 커널 제한을 통해 매끄러운 다양체 위의 RKH 공간을 정의한다.
• R^d 상에서 r > d/2 조건을 만족하는 소볼레프-마틴 커널을 사용하여 RKH 공간을 구성하고, 이를 m차원 컴act 부분다양체 M에 제한한다.
• 제한된 RKH 공간 R_M(H_X)가 소볼레프 공간 W^{r-(d-m)/2,2}(M)와 등장하는(isomorphic) 것을 증명하여, M 상에서의 함수의 적절한 매끄러움을 보장한다.
• 함수들의 정(regularity)을 특징짓기 위해 추적 연산자 T: W^{r,2}(R^d) → W^{r-(d-m)/2,2}(M)를 활용한다.
• 만약 정류 궤도 Γ⁺(x₀)가 제한된 RKH 공간 R_M(H_X)를 지속적으로 자극한다면, 양의 극한 집합 ω⁺(x₀)는 다양체 M과 일치함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지속적으로 자극되는 집합이 반유역의 양의 극한 집합에 포함되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 매끄러운 다양체 위에서 적응형 함수 추정을 지원하기 위해 어떻게 RKH 공간을 구성할 수 있는가?
• RQ3 어떤 커널 구조가 PE 분석에 필수적인 풍부한 컷오프 함수 가족을 포함하는 RKH 공간을 보장하는가?
• RQ4 RKH 공간 내에서의 PE 조건이 무한차원 임베딩 공간에서의 함수 추정 수렴을 보장할 수 있는가?
• RQ5 커널 선택(예: 소볼레프-마틴 커널)이 임베딩된 다양체 상에서의 함수의 정규성 및 근사 성질에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• RKH 공간에 풍부한 컷오프 함수 가족이 포함되어 있을 경우, 지속적으로 자극되는 집합은 양의 극한 집합 ω⁺(x₀)의 부분집합이다.
• 만약 정류 궤도 Γ⁺(x₀)가 제한된 RKH 공간 R_M(H_X)를 지속적으로 자극한다면, 양의 극한 집합 ω⁺(x₀)는 다양체 M과 일치한다.
• 제한된 RKH 공간 R_M(H_X)는 소볼레프 공간 W^{r-(d-m)/2,2}(M)와 등장하므로, 다양체 M 상에서의 함수의 매끄러움을 정확히 기술한다.
• r > d/2 조건을 만족하는 R^d 상의 소볼레프-마틴 커널은, 매끄러운 다양체 M에 제한되었을 때 정규성 r - (d-m)/2를 갖는 함수를 생성하는 RKH 공간을 유도한다.
• 외재적 방법(커널의 제한을 통한 RKH 공간 정의)은 양의 극한 집합이 매끄러운 다양체일 경우 적응형 추정에 매우 적합하다.
• 이론적 프레임워크는 RKH 임베딩 방법의 유한차원 근사에서 양의 극한 집합 근처 또는 그 위에 중심을 둔 라디얼 기저 함수의 사용을 정당화한다.