[논문 리뷰] Persistent homoclinic tangencies and infinitely many sinks for residual sets of automorphisms of low degree in C^{3}

Sébastien Biebler|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 07.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 복소수 3차원 공간 ℂ³에서 차수 2인 다항 자기동형사상이 존재하며, 복소수 블렌더 개념의 유사체를 통해 지속적인 동형접선 비틀림을 보이고, 무한히 많은 싱크가 조밀하게 분포한 잔여집합을 이룬다. 저자들은 특정한 자기동형사상 f₀를 구성하여, 부분적으로 산산이 찢어지는 주기점과 복소수 블렌더 성질을 만족하는 호새를 확보하였으며, 이는 강건한 접선 비틀림과 소규모 변형 하에서 무한히 많은 싱크의 생성을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We show that there exists a polynomial automorphism $f$ of $\mathbb{C}^{3}$ of degree 2 such that for every automorphism $g$ sufficiently close to $f$, $g$ admits a tangency between the stable and unstable laminations of some hyperbolic set. As a consequence, for each $d \ge 2$, there exists an open set of polynomial automorphisms of degree at most $d$ in which the automorphisms having infinitely many sinks are dense. To prove these results, we give a complex analogous to the notion of blender introduced by Bonatti and Diaz.

연구 동기 및 목표

• 차수 2 이상의 다항 자기동형사상을 통해 ℂ³에서의 복소수 다이나믹스로 뉴하우스 현상을 확장한다.
• 각 d ≥ 2에 대해, Aut_d(ℂ³)의 열린 부분집합에서 무한히 많은 싱크를 갖는 자기동형사상이 조밀하게 분포함을 보인다.
• 강건한 불변 다변화 간의 교차를 보장하기 위해 '복소수 블렌더'라고 불리는 블렌더 개념의 복소수 유사체를 도입하고 활용한다.
• 특정 차수 2 다항 자기동형사상 f₀가 블렌더 성질을 갖는 호새를 지닌다는 것을 증명하여, 소규모 변형 하에서도 지속적인 접선 비틀림이 발생함을 보인다.
• 이러한 블렌더의 존재가 잔여집합 내 자기동형사상에서의 비틀림 편개를 통해 싱크가 생성됨을 증명한다.

제안 방법

• 지수 (2,1)의 호새를 지닌 특정한 다항 자기동형사상 f₀ ∈ Aut₂(ℂ³)를 구성하며, 세 번째 방향은 중간 정도로 압축된다.
• 삼중디스크 D 내에서 불변 원추장 Cᵘ, Cˢˢ, Cᶜˢ를 정의하여 복소수 블렌더 성질을 설정하며, Cˢˢ에 접하는 임의의 곡선이 D의 열린 부분집합에서 불변 불변의 불변집합 Wᵘ(ℋ_f₀)와 교차함을 보장한다.
• f₀가 부분적으로 산산이 찢어지는 주기점을 지닌다는 것을 증명하여, 특정 방향에서 고유값의 곱이 모듈러스로 1 이하임을 보장한다.
• 접선점 근처의 불변 다변화를 모델링하기 위해 특수한 기하적 구성의 '접힌 다변화'를 도입한다.
• 홀로모르픽 좌표변환 Ψ_τ와 ℙ²(ℂ)에서의 쌍대기하학을 사용하여 변형 하에서 불변 다변화의 접선 방향을 분석한다.
• 기울기 법칙과 횡단성 논증을 적용하여, 임의로 작은 τ에 대해 주기점에서의 미분이 AΛ₁ = 0를 만족함을 보이며, 이는 접선 비틀림과 싱크 생성을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제어 가능한 차수를 갖는 복소수 다항 자기동형사상에서 뉴하우스 현상—무한히 많은 싱크—이 실현 가능한가?
• RQ2 ℂ³에서 불변 다변화 간의 강건한 교차를 보장하는 복소수 블렌더 개념의 유사체가 존재하는가?
• RQ3 차수 2 다항 자기동형사상을 사용하여 ℂ³에서 지속적인 동형접선 비틀림을 구성할 수 있는가?
• RQ4 각 d ≥ 2에 대해, Aut_d(ℂ³)의 열린 부분집합에서 무한히 많은 싱크를 갖는 자기동형사상의 집합이 조밀한가?
• RQ5 소규모 변형이 접선 비틀림을 통해 싱크를 생성하는 데 필요한 동역학적 조건은 무엇인가?

주요 결과

• ℂ³에서 차수 2인 다항 자기동형사상 f₀가 존재하여, f₀에 충분히 가까운 임의의 g가 어떤 초구형 집합의 안정성 및 불안정성 레이어 간의 접선 비틀림을 갖는다.
• 각 d ≥ 2에 대해, Aut_d(ℂ³)의 열린 부분집합에서 무한히 많은 싱크를 갖는 자기동형사상이 조밀하게 분포한다.
• 이 구성은 복소수 블렌더 성질에 기반한다: 강한 안정성 원추에 접하는 임의의 잘 정렬된 곡선과 강건하게 교차하는 불안정성 다변화를 갖는 호새.
• 저자들은 특정한 차수 2 자기동형사상 f₀가 부분적으로 산산이 찢어지는 주기점을 지닌다는 것을 증명하여, 싱크 생성을 위한 필수 압축 조건이 확보됨을 보였다.
• 홀로모르픽 좌표에서의 사상 미분을 분석하고 ℙ²(ℂ)에서의 횡단성 논증을 사용하여, 임의로 작은 매개변수 τ에 대해 주기점 근처에 싱크가 나타남을 보였다.
• 매개변수 0의 임의의 이웃에서 이러한 싱크의 존재가 보장되며, 이는 변형 하에서도 싱크 생성이 강건함을 증명한다.