[論文レビュー] Perspectives on Nonlinearity in Quantum Theory

Gerald A. Goldin|ArXiv.org|Feb 2, 2000

Quantum Mechanics and Applications参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、微分同相群のユニタリ表現から導かれる一般化された非線形シュレーディンガー方程式族を提案し、GL(2,ℝ)に同型な新しい非線形ゲージ群 𝒢 を用いて拡張する。この枠組みは、ゲージ不変な確率密度および電流密度を導入し、保存則を保ち、線形量子力学を特別な場合として含むため、対称性を尊重するより広範な形式主義により、散逸的量子系を一貫して記述可能である。

ABSTRACT

An enlarged group G of nonlinear transformations, modeled on the general linear group GL(2,R), leads to a beautiful, apparently unremarked symmetry between the wave function's phase and the logarithm of its amplitude. Equations Doebner and I earlier proposed are embedded in a wider, natural family of nonlinear time-evolution equations, on which G acts as a gauge group (leaving physical observations invariant). There exist G-invariant quantities that reduce to the usual probability density and flux for linearizable quantum theories in a particular gauge.

研究の動機と目的

• 標準的な線形量子力学を超えて、不可逆的かつ散逸的量子系を記述できる一貫した非線形量子理論の構築を目的とする。
• GL(2,ℝ)をモデルとする新しい非線形変換群 𝒢 を導入することで、ゲージ不変性の概念を一般化し、位相と対数的振幅の対称性を統合する。
• 特定のゲージで標準的な量子力学の式に還元されるゲージ不変な確率密度およびフラックスを導出することにより、線形量子力学との整合性を保証する。
• 連立非線形シュレーディンガー＝マクスウェル方程式の流体的定式化を確立し、不変な連続の式を導く。
• 提案された形式主義が線形量子力学を極限ケースとして含み、不変量を用いた一般化された測定理論を可能にするかどうかを示す。

提案手法

• 物理的空間の微分同相群のユニタリ表現から、2つの拡散的パラメータ D と D′ を導入した非線形シュレーディンガー方程式族を導出する。
• 波動関数の位相 S と対数的振幅 T に作用する、GL(2,ℝ)に同型な新しい非線形ゲージ群 𝒢 ≅ GL(2,ℝ) を導入し、それらの変換行動を統合する。
• 変換行列の係数 aⱼ, bⱼ を用いて、d₁S + d₂T や σL₁ + τS + σL₂ + τT といった S と T のゲージ不変な組み合わせを構成する。
• ゲージ不変な確率密度 ℒᵍⁱ = exp(2T) と電流 ℱᵍⁱ = −2ν₁∇S − 4ν₂∇T − 2𝒜 を定義し、全確率の保存を保証する。
• 外部場が一般化されたゲージ変換に従って変化する連立非線形シュレーディンガー＝マクスウェル系から運動方程式の流体的定式化を導出する。
• 連続の式 ∂ₜℒᵍⁱ + ∇·ℱᵍⁱ = 0 が、解の大きな部分族に対して成り立つことを検証し、一般化された枠組みにおける確率保存を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲージ不変性と確率保存を保ちつつ、散逸的系を記述できる一貫した非線形量子理論を構築できるか？
• RQ2 GL(2,ℝ)に同型な一般化された非線形ゲージ群 𝒢 をどのように定義すれば、波動関数の位相と対数的振幅の対称性を統合できるか？
• RQ3 対数的振幅と位相から構成できるゲージ不変量は何か？ これらは線形極限で標準的な量子力学の確率および電流に還元されるか？
• RQ4 外部場（ベクトルポテンシャルおよびスカラーポテンシャル）は一般化されたゲージ群に従ってどのように変化するか？ また、非線形シュレーディンガー方程式に一貫して結合可能か？
• RQ5 一般化された形式主義が標準的な線形量子力学にどのような条件下で還元されるか？ また、パラメータ τ₂ は古典的極限を定義する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 提案された非線形シュレーディンガー方程式には、iħD/2 × (∇²ρ)/ρ に比例する項が含まれており、これは現在の代数表現から自然に導かれ、線形時間発展からは得られない。
• ゲージ不変な確率密度は ℒᵍⁱ = exp(2T) で与えられ、T = ln|ψ| であり、ゲージ不変な電流は ℱᵍⁱ = −2ν₁∇S − 4ν₂∇T − 2𝒜 で与えられ、S = arg(ψ) かつ 𝒜 はゲージ場である。
• d₁S + d₂T（d₁ = 2a₃ + b₄、d₂ = a₄ + 2b₅）は一般化されたゲージ群に対して不変であり、非自明な不変量の存在を確認する。
• τ₁ = (a₁ + b₂)/2 および τ₂ = (a₁b₂ − a₂b₁)/2 は、全変換群に対して保存され、量子力学と整合する方程式のクラスを定義する。τ₂ → 0 は古典的極限に対応する。
• 非線形方程式の大きな部分族は、全確率 ∫ℒᵍⁱ dⁿx が保存され、連続の式 ∂ₜℒᵍⁱ + ∇·ℱᵍⁱ = 0 を満たす解を有する。
• 形式主義は標準的な線形量子力学を特別な場合として含む：γ = λ = 1、κ = Λ = 0 とすると線形シュレーディンガー方程式が回復し、一貫性と埋め込みが確認される。