[論文レビュー] Perturbations of discrete lattices and almost periodic sets

S. Favorov, Ye. Kolbasina|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2010

advanced mathematical theories参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、ℝᵖ 内のフルランク格子に対するほぼ周期的摂動を用いた、ほぼ周期的離散集合を構成するフレームワークを導入し、すべての1次元のほぼ周期的離散集合が算術級数のほぼ周期的摂動として得られることを証明する。さらに、分布の意味でのほぼ周期的であるが、弱い意味でのほぼ周期的でない符号付き測度が存在することを示し、符号付きほぼ周期的集合の正負の部分が個別にほぼ周期的でない具体例を構成することで、理論における根本的な非対称性を明らかにする。

ABSTRACT

A discrete set in the $p$-dimensional Euclidian space is {\it almost periodic}, if the measure with the unite masses at points of the set is almost periodic in the weak sense. We propose to construct positive almost periodic discrete sets as an almost periodic perturbation of a full rank discrete lattice. Also we prove that each almost periodic discrete set on the real axes is an almost periodic perturbation of some arithmetic progression. Next, we consider signed almost periodic discrete sets, i.e., when the signed measure with masses $\pm1$ at points of a discrete set is almost periodic. We construct a signed discrete set that is not almost periodic, while the corresponding signed measure is almost periodic in the sense of distributions. Also, we construct a signed almost periodic discrete set such that the measure with masses +1 at all points of the set is not almost periodic.

研究の動機と目的

• ℝᵖ 内のフルランク格子に対するほぼ周期的摂動を用いた、正のほぼ周期的離散集合を体系的に構成する方法を開発すること。
• すべてのℝᵖ 内のほぼ周期的離散集合が格子の摂動として得られるかどうかという未解決問題を解き、1次元ではそれらが算術級数の摂動として得られることを示すこと。
• 符号付きほぼ周期的離散集合の挙動、特に符号付き測度のほぼ周期性とその正負の部分の個別的なほぼ周期性の違いを調査すること。
• 弱い意味での測度のほぼ周期性と分布の意味でのほぼ周期性の関係を明確にすること、特に符号付き測度に対して。
• L が格子で E が有限集合である形の集合 L + E よりも厳密に大きな、ほぼ周期的離散集合のクラスであることを示すために、非自明な具体例を構成すること。

提案手法

• 測度のほぼ周期性の概念を用いる：任意の compact な台を持つ連続関数 φ に対して、∫φ(x+t)dμ(t) が x に関してほぼ周期的であるとき、Borel 測度 μ は弱い意味でほぼ周期的であると定義する。
• 定理3の幾何的基準を適用する：多重離散集合 A がほぼ周期的であるとは、任意の ε に対して、すべての n に対して |aₙ + τ - aσ(n)| < ε を満たす双対写像 σ が存在するような ε-準周期 τ の集合が ℝᵖ において相対的稠密であることである。
• 符号付き離散集合 A を、偶数で非ゼロの n に対して、aₙ⁺ = n + 1/(α(n)+1)² および aₙ⁻ = n - 1/(α(n)+1)² に重み α(n) を両側に割り当てることで構成する。
• ほぼ周期関数および分布の理論を用い、φ * μ_A がすべての C∞ 関数 φ（小さな台を持つ）に対して x に関してほぼ周期的であることを示すが、μ_A が一様有界性条件 (3) を満たさない場合でも成り立つ。
• Kronecker の定理を用いて、ほぼ周期的成分をもつ写像 F: ℝᵖ → ℝᵖ の各成分に対して、共通の ε-準周期の相対的稠密な集合が存在することを示す。
• 定理1の稠密性および変動条件を用いて、ほぼ周期的測度およびその関連する離散集合の構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのℝᵖ 内のほぼ周期的離散集合は、フルランク格子のほぼ周期的摂動として構成可能か？
• RQ2 すべての1次元のほぼ周期的離散集合は、算術級数のほぼ周期的摂動として得られるか？
• RQ3 符号付き測度が分布の意味でほぼ周期的であるが、弱い意味でほぼ周期的でないことはあり得るか？
• RQ4 符号付きほぼ周期的離散集合の正負の部分は、それぞれ必ずほぼ周期的である必要があるか？
• RQ5 ほぼ周期的離散集合のクラスは、L が格子で E が有限集合である形の集合 L + E よりも厳密に大きいのか？

主な発見

• ℝ¹ 内のすべてのほぼ周期的離散集合は、ある算術級数のほぼ周期的摂動である。
• 分布の意味でほぼ周期的だが、弱い意味でほぼ周期的でない（一様有界性条件 (3) を破る）符号付き測度をもつ離散集合が存在する。
• 正部分 A⁺ および負部分 A⁻ がそれぞれほぼ周期的でない符号付きほぼ周期的離散集合 A が存在し、符号付き測度のほぼ周期性がその成分のほぼ周期性を含まないことを示している。
• 構成例の正負の点の和集合からなる正の離散集合は、符号付き測度が分布の意味でほぼ周期的であるにもかかわらず、ほぼ周期的でない。
• 正のほぼ周期的離散集合のクラスは、弱い意味でほぼ周期的である測度と一致するが、符号付き測度ではこの同値性は成立しない。
• この構成により、測度が一様有界性条件 (3) を満たさない場合でも、多重離散集合の ε-準周期集合が相対的稠密であることが可能であることが示され、分布的ほぼ周期性と弱いほぼ周期性の間の重要な差異が浮き彫りになる。